Matematyka.pl

Dla dowolnego wielokąta o obwodzie O i polu P udowodnić:
\(\displaystyle{ \frac{O^2}{4 \pi }>P }\)

Bez straty ogólności rozpatrujemy wielokąt wypukły o \(\displaystyle{ n - }\) bokach - wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1.}\)

Dzielimy wielokąt na \(\displaystyle{ n - }\) trójkątów.

Pole wielokąta:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}n\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{n}\right).}\)

Obwód wielokąta:
\(\displaystyle{ O = n\cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right).}\)

\(\displaystyle{ \frac{4\pi P}{O^2} = \frac{4\pi \cdot n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\left(n\cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)^2}= \frac{\pi\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{\frac{\pi}{n}}{\tg\left(\frac{\pi}{n}\right)}< 1, \ \ n\geq 3.}\)

W to, że wielokąt wypukły ma większe pole przy tym samym obwodzie, przekonać się można łatwo. Ale czemu ma on być wielokątem foremnym?

Jest to nierówność izoperymetryczna, która wiąże się z problemem znalezienia figury płaskiej o największym polu przy zadanym obwodzie.

Treść zadania jest niepełna.

Przecież nie o to pytałem.

Bo ze wszystkich wielokątów o tej samej liczbie boków o danym obwodzie -największe pole ma wielokąt foremny.