Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych, to istnieje trójkąt który można rozciąć na na \(\displaystyle{ n}\) trójkątów przystających.

Każdy trójkąt można rozciąć na \(\displaystyle{ k^2}\) przystających trójkątów (tnąc siecznymi równoległymi do boków tego trójkąta).
Niech \(\displaystyle{ n=a^2+b^2}\). Przykładowy trójkąt spełniający tezę uzyska się z połączenia bokiem \(\displaystyle{ b}\) dwóch podobnych trójkątów prostokątnych, jednego o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a drugiego o przyprostokątnych \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ \frac{b^2}{a} }\). Jego cięcie da \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ \frac{b}{a} }\) .