Podzbiór prostej

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Podzbiór prostej

Post autor: mol_ksiazkowy »

Czy istnieje na prostej jej podzbiór \(\displaystyle{ M}\), taki że w każdej odległości od każdego punktu tego zbioru jest dokładnie jeden punkt zbioru \(\displaystyle{ M}\) ?
Ostatnio zmieniony 12 lut 2023, o 22:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
szuler
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 16 mar 2023, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Podzbiór prostej

Post autor: szuler »

Załóżmy, że istnieje niepusty \(M\subset\mathbb{R}\) o tej własności, że \((\forall x\in M )(\forall r>0 )(\exists! y\in M )( |x-y|=r ) \). Niech \(x_{1}\in M\). Istnieje dokładnie jeden \(x_{2}\in M\) taki, że \(|x_{1} - x_{2}|=1\). Oznaczmy \(a_{1}=\min \lbrace x_{1}, x_{2} \rbrace\) i \(a_{2}=\max \lbrace x_{1}, x_{2} \rbrace\). Wtedy \(a_{2}=a_{1}+1\). Istnieje \(a_{3}\in M\) taki, że \(|a_{3} - a_{2}|=\frac{1}{2}\). Zauważmy, że \(a_{3} = a_{2}+\frac{1}{2}\), bo gdyby \(a_{3} = a_{2}-\frac{1}{2}\), to mielibyśmy, że \(a_{3} = a_{1}+\frac{1}{2}\) i wówczas \(|a_{3}-a_{1}|=|a_{3}-a_{2}|=\frac{1}{2}\), wbrew założeniu. Ponadto istnieje \(a_{4}\in M\) takie, że \(|a_{4}-a_{2}|=\frac{1}{4}\). Gdyby \(a_{4}=a_{2}+\frac{1}{4}\), to mielibyśmy, że \(a_{4}=a_{3}-\frac{1}{4}\) i wtedy \(|a_{4}-a_{3}|=|a_{4}-a_{2}|=\frac{1}{4}\) - sprzeczność z założeniem. Mamy więc, że \[a_{4}=a_{2}-\frac{1}{4}=a_{1}+\frac{3}{4}=a_{3}-\frac{3}{4},\] czyli \(|a_{4}-a_{1}|=|a_{4}-a_{3}|=\frac{3}{4}\). Dla \(a_{4}\in M\) istnieją dwa punkty w \(M\) odległe od niego o \(\frac{3}{4}\), wbrew założeniu o \(M\).
ODPOWIEDZ