Matematyka.pl

Na stole o powierzchni \(\displaystyle{ 90 j^2}\) położono trzy kawałki papieru (mogą one nachodzić na siebie, ale żaden z nich nie wystaje poza krawędź stołu) o powierzchni \(\displaystyle{ 40 j^2}\) każdy. Udowodnić, że jakieś dwa z nich przykrywają powierzchnię nie większą niż \(\displaystyle{ 70 j^2}\).

Niech S, A, B i C oznaczają blat stołu i kolejne kawałki papieru, a P(X) pole obiektu X.
Skoro kawałki nie wystają poza blat to:
\(\displaystyle{ P(S) \ge P(A \cup B \cup C) \\
90 \ge P(A)+P(B)+P(C)-P( A \cap B )-P( A \cap C )-P( B \cap C )+P( A \cap B \cap C ) \\
90-P( A \cap B \cap C )+120 \ge P(A)+P(B)+P(C)-P( A \cap B )-P( A \cap C )-P( B \cap C )+120 \\
210-P( A \cap B \cap C ) \ge (P(A)-P( A \cap B )+P(B))+(P(A)-P( A \cap C )+P(C))+(P(B)-P( B \cap C )+P(C)) \\
210-P( A \cap B \cap C ) \ge P( A \cup B )+P( A \cup C )+P( B \cup C ) }\)
Nawet w najbardziej niesprzyjającej tezie sytuacji:
\(\displaystyle{ 210= P( A \cup B )+P( A \cup C )+P( B \cup C ) }\)
przynajmniej przynajmniej jedna para przykrywa powierzchnię nie większą niż \(\displaystyle{ 70 j^2}\).