Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) kąt wypukły nie może mieć dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\) osi symetrii.

Jeśli mamy do czynienia z uczciwym wielokątem, a przynajmniej takim, że

• każdy kolejny wierzchołek jest różny od poprzedniego,
• każdy kąt jest różny od \(180^{\circ}\),

to z istnienia \(n-1\) osi symetrii wynika istnienie \(n\) osi symetrii. Najprostszą drogą wydaje mi się udowodnienie najpierw, że istnieje \(n\) obrotów własnych tego wielokąta.

Jeśli \(S_1, S_2, \ldots, S_{n-1}\) są różnymi symetriami własnymi tego wielokąta, to mamy \(n-1\) różnych obrotów własnych tego wielokąta:
\(R_1=S_1\circ S_1\),
\(R_2=S_1\circ S_2\),
\(\ldots\),
\(R_{n-1}=S_1\circ S_{n-1}\),
czyli \(S_1\) złożone z każdą symetrią. Środek obrotu jest taki sam w przypadku każdego z obrotów – jest nim środek masy wielokąta. Zatem każdy obrót jest o inny kąt.

Jeśli przez \(A_1\) oznaczymy jeden z wierzchołków wielokąta, przy którym kąt jest różny od \(180^{\circ}\), to taki wierzchołek w każdej izometrii własnej wielokąta musi przejść również na taki wierzchołek. Zatem punkty \(R_1(A_1), R_2(A_1), \ldots, R_{n-1}(A_1)\) są różnymi wierzchołkami wielokąta i z zasady szufladkowej jest wśród nich sąsiad wierzchołka \(A_1\), powiedzmy \(R_k(A_1)\). Teraz jeśli wielokąt jest uczciwy, to \(A_1, R_k(A_1), R_k^2(A_1),\ldots, R_k^{n-1}(A_1)\) są kolejnymi wierzchołkami naszego wielokąta, zatem każdy z obrotów \(R_k^0, R_k^1, R_k^2, \ldots, R_k^{n-1}\) jest inną izometrią własną wielokąta. Ostatecznie po ponownym złożeniu z \(S_1\) otrzymujemy \(n\) symetrii własnych wielokąta:
\(S_1 \circ R_k^0=S_1\),
\(S_1 \circ R_k^1\),
\(S_1 \circ R_k^2\),
\(\ldots\),
\(S_1 \circ R_k^n\).