Okręgi i styczne
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Okręgi i styczne
Okręgi są styczne w punkcie \(\displaystyle{ A}\) (zewnętrznie), i do wspólnej stycznej w \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). przy tym \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ CE}\) są to średnice tych okręgów. Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ D, A, C}\) są współliniowe.
- Załączniki
-
- 2ct.jpg (21.21 KiB) Przejrzano 222 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Okręgi i styczne
Rysunek sugeruje, że `DE` jest wspólną styczną do obu okręgów. A to jest możliwe tylko wtedy, gdy `BC` i `DE` są równoległe, czyli gdy promienie okręgów są równe. Wtedy rozwiązanie jest trywialne
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
krl
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
Re: Okręgi i styczne
Nietrudne. Niech \(\displaystyle{ O_1}\) będzie środkiem większego okręgu, a \(\displaystyle{ O_2}\) mniejszego.
Punkty \(\displaystyle{ O_1,A,O_2}\) są współliniowe.
Odcinki \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ CE}\) są równoległe, bo są prostopadłe do odcinka \(\displaystyle{ BC}\).
Dlatego \(\displaystyle{ \angle DO_2A=\angle CO_1A}\) i trókąty \(\displaystyle{ AO_2D}\) oraz \(\displaystyle{ AO_1C}\) są równoramienne i podobne (bo mają te same kąty w wierzchołkach \(\displaystyle{ O_2}\) i \(\displaystyle{ O_1}\)).
Stąd kąty w tych trójkątach w wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) są równe. Zatem punkty \(\displaystyle{ C,A,D}\) są współliniowe.
A \(\displaystyle{ A}\) jest punktem przecięcia przekątnych czworokąta \(\displaystyle{ BCED}\).
Punkty \(\displaystyle{ O_1,A,O_2}\) są współliniowe.
Odcinki \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ CE}\) są równoległe, bo są prostopadłe do odcinka \(\displaystyle{ BC}\).
Dlatego \(\displaystyle{ \angle DO_2A=\angle CO_1A}\) i trókąty \(\displaystyle{ AO_2D}\) oraz \(\displaystyle{ AO_1C}\) są równoramienne i podobne (bo mają te same kąty w wierzchołkach \(\displaystyle{ O_2}\) i \(\displaystyle{ O_1}\)).
Stąd kąty w tych trójkątach w wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) są równe. Zatem punkty \(\displaystyle{ C,A,D}\) są współliniowe.
A \(\displaystyle{ A}\) jest punktem przecięcia przekątnych czworokąta \(\displaystyle{ BCED}\).
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Re: Okręgi i styczne
\(\displaystyle{ O_1O_2CB }\)- trapez prostokątny
\(\displaystyle{ |\angle AO_2C|=\alpha}\)
\(\displaystyle{ |\angle O_2O_1B|=180^o-|\angle AO_2C|=180^o-\alpha}\)
\(\displaystyle{ BD}\) - średnica
\(\displaystyle{ |\angle DO_1A|=180^o-|\angle O_2O_1B|=180^o-(180^o-\alpha)=180^o-180^o+\alpha=\alpha}\)
Trójkąty \(\displaystyle{ DO_1A}\) i \(\displaystyle{ AO_2C}\) są równoramienne
\(\displaystyle{ |\angle DAO_1|=(180^o-\alpha):2}\)
\(\displaystyle{ |\angle O_2AC|=(180^o-\alpha):2}\)
Punkty \(\displaystyle{ O_1, A, O_2 }\)są współliniowe
\(\displaystyle{ |O_1AC|=180^o-|\angle O_2AC|=180^o-(180^o-\alpha):2=90^o+\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ |DAO_1|+|O_1AC|=(180^o-\alpha):2+90^o+\frac{\alpha}{2}=180^o}\)
Punkty D, A, C są współliniowe.
\(\displaystyle{ |\angle AO_2C|=\alpha}\)
\(\displaystyle{ |\angle O_2O_1B|=180^o-|\angle AO_2C|=180^o-\alpha}\)
\(\displaystyle{ BD}\) - średnica
\(\displaystyle{ |\angle DO_1A|=180^o-|\angle O_2O_1B|=180^o-(180^o-\alpha)=180^o-180^o+\alpha=\alpha}\)
Trójkąty \(\displaystyle{ DO_1A}\) i \(\displaystyle{ AO_2C}\) są równoramienne
\(\displaystyle{ |\angle DAO_1|=(180^o-\alpha):2}\)
\(\displaystyle{ |\angle O_2AC|=(180^o-\alpha):2}\)
Punkty \(\displaystyle{ O_1, A, O_2 }\)są współliniowe
\(\displaystyle{ |O_1AC|=180^o-|\angle O_2AC|=180^o-(180^o-\alpha):2=90^o+\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ |DAO_1|+|O_1AC|=(180^o-\alpha):2+90^o+\frac{\alpha}{2}=180^o}\)
Punkty D, A, C są współliniowe.
- Załączniki
-