Matematyka.pl

Cześć, próbuję rozwiązać pewną złożoną zagadkę, wydaje mi się że dane do obliczeń są wystarczające(więcej nie mam) ale brakuje mi przeglądu teorii. Gdybyście mogli mnie naprowadzić będę wdzięczny. Ponadto, jestem otwarty na możliwość zlecenia rozwiązania tej zagadki komuś, kto posiada odpowiednią wiedzę.

Okrąg o nieznanym promieniu \(\displaystyle{ r}\) jest osadzony na układzie współrzędnych z środkiem \(\displaystyle{ (x,y) = (0,-r)}\)
Dla stałej \(\displaystyle{ A}\) jestem w stanie odczytać wartość kąta \(\displaystyle{ \beta }\)
Podając wartość \(\displaystyle{ X}\) potrzebuję obliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha }\)

Rysunek pomocniczy Z góry dziękuję za wszelką pomoc. Przepraszam za jakość dołączonego rysunku oraz niedokładne określenie tematu - niestety nie jestem pewien, jak precyzyjnie nazwać ten problem.

Rysunek: Punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ D}\) są jak u Ciebie, przy czym \(\displaystyle{ |BC| = X}\). \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ BD}\) a \(\displaystyle{ F}\) jest czwartym wierzchołkiem prostokąta \(\displaystyle{ BCDF}\).

Łatwo wykazać, że \(\displaystyle{ \angle BAE = \angle EAD = \alpha}\). Dalej \(\displaystyle{ \sin(2\alpha) = \frac{X}{r}}\) i stąd \(\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{2} \arcsin \frac{X}{r}}\).

Po czasie udało mi się rozwiązać.
Obliczyłem \(\displaystyle{ r}\) z twierdzenia sinusów,
Następnie z równania okręgu wyciągnąłem \(\displaystyle{ y = b + \sqrt{r^2 − (x − a)^2}}\) czyli przyprostokątną żółtego trójkąta, drugą przyprostokątną jest
\(\displaystyle{ X}\) więc obliczenie alfy jest już proste.
Dla przykładowych danych moje rozwiązanie jak i Twoje daje ten sam wynik.
Twoje lepsze bo szybsze do implementacji
Dzięki.