Matematyka.pl

Wskazać przykład przekształcenia prostej w siebie, która nie jest izometrią i takiej, że jeśli odległość dwóch punktów na tej prostej jest równa 1, to odległość ich obrazów przez to przekształcenie też jest 1.

Przesuwamy całkowite o jeden w prawo

A czy \(\displaystyle{ f(x)-x}\) może nie być okresowa

Nie bardzo rozumiem jak mam rozumieć przesunięcie całkowitych o jedno w prawo... Jaka to będzie funkcja?

Mozliwe, że miał to na myśli:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x+1 , x \in Z \\ x , x\notin Z \end{cases}}\)

Mi się wydaje, że są to funkcje spełniające:

\(\displaystyle{ f(x+1)-f(x)=1}\)

Spełniają to równanie funkcje typu:

\(\displaystyle{ f(x)=ax, a=1}\)

Ale nie tylko bo:

W liczbach rzeczywistych istnieją nieliniowe rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego.

Bo każdą liczbę rzeczywista można przedstawić jako sumę:

\(\displaystyle{ x= \sum_{i \in I}^{} \alpha_{i} x_{i} , \alpha_{i} \in Q }\)

\(\displaystyle{ B=\left\{ x_{i} \right\}_{ \in I}}\) - jest to jakaś tam baza

u nas można przyjąć, że:

\(\displaystyle{ f(1)=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{f(x_{i})}{x_{i}} }\) - nie ma stałych wartości

Łatwo wskazać przekształcenie (a nawet mnóstwo przekształceń) liczb całkowitych w prostą o szukanej własności - wystarczy zero przekształcić na cokolwiek, a potem rekurencyjnie \(\displaystyle{ f(n+1) = f(n) \pm 1}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ f(n-1) = f(n) \pm 1}\) dla \(\displaystyle{ n \le 0}\) (znaki wybieramy dowolnie niezależnie od siebie). Aby zaś uzyskać przekształcenie prostej w siebie, wystarczy przekształcić w opisany sposób - znów niezależnie od siebie - każdą warstwę \(\displaystyle{ \ZZ}\) w \(\displaystyle{ (\RR, +)}\).

Na przykład: \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} \cdot (-1)^{\lfloor x \rfloor}}\).

Takie coś jest śmieszne: relacja `xRy \Leftrightarrow x-y\in\ZZ` jest relacja równoważności, każda z klas równoważności na reprezentanta w przedziale \(\displaystyle{ [0,1)}\)
Dla każdego `a\in [0,1)` jeżeli `x\in[a]` to
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ gdy } x-a\in2\ZZ\\ 1 &\text{ w przeciwnym razie}\end{cases}}\)

To odwzorowanie przekształca prostą w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\) i ma żądaną własność

Twoje \(\displaystyle{ f(x)}\) to jedna druga minus moje \(\displaystyle{ f(x)}\). :>