Odsunięcie elipsy

StudentIB · Post autor: **StudentIB** » 18 lis 2022, o 15:55

Witam,

czy jest jakaś literatura, w której znajdę matematyczny dowód na to, że odsunięcie elipsy nie jest elipsą (ponieważ odległości w kierunku normalnym pomiędzy odpowiadającymi sobie punktami na 2 współśrodkowych elipsach nie są równe na całym obwodzie elipsy) ? Jest to opisane w książkach do geometrii ? Na co dzień nie korzystam z takich podręczników, więc nie wiem gdzie szukać.

Z góry dziękuję za pomoc.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 18 lis 2022, o 16:00

Co to jest " odsunięcie "?

StudentIB · Post autor: **StudentIB** » 18 lis 2022, o 16:06

Mam na myśli krzywą równoległą. W praktyce (programy CAD) nazywa się to offsetem a po polsku odsunięciem:

Kod: Zaznacz cały

en.wikipedia.org/wiki/Parallel_curve

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 18 lis 2022, o 20:03

pewien pomysł:

Przedstawię tu pewien pomysł. Nie jest to sprawdzone rozwiązanie bo nie przeliczyłem wszystkiego ale możesz się pobawić i zobaczyć czy coś z tego będzie. Więc w ogólności wzory na krzywą będącą odsunięciem elipsy są znane: https://mathworld.wolfram.com/EllipseParallelCurves.html i wynikają z linkowanego przez Ciebie linku. Teraz postarajmy się, żeby jednak odsunięcie elipsy było elipsą. To znaczy pytamy się czy istnieją takie wartości \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\), że

\(\displaystyle{ \left( \frac{x_k(t;a,b)}{ \alpha } \right)^2+\left( \frac{y_k(t;a,b)}{ \beta } \right)^2 =1}\)

dla każdego \(\displaystyle{ t}\). Wstawiając wzory z linku dostaniemy:

\(\displaystyle{ \frac{\cos ^2(t) \left(\frac{b k}{\sqrt{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}}+a\right)^2}{\alpha ^2}+\frac{\sin ^2(t) \left(\frac{a k}{\sqrt{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}}+b\right)^2}{\beta ^2}-1=0}\)

co po przeliczeniu daje

\(\displaystyle{ \frac{2 \alpha ^2 a b k \sin ^2(t) \sqrt{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}+2 a b \beta ^2 k \cos ^2(t) \sqrt{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}+\alpha ^2 a^2 b^2 \sin ^4(t)+a^2 b^2 \beta ^2 \cos ^4(t)+\alpha ^2 a^2 k^2 \sin ^2(t)-\alpha ^2 a^2 \beta ^2 \sin ^2(t)+a^4 \beta ^2 \sin ^2(t) \cos ^2(t)+b^2 \beta ^2 k^2 \cos ^2(t)-\alpha ^2 b^2 \beta ^2 \cos ^2(t)+\alpha ^2 b^4 \sin ^2(t) \cos ^2(t)}{\alpha ^2 \beta ^2 \left(a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)\right)}=0}\)

choć nas interesuje jedynie licznik. To jest

\(\displaystyle{ 2 \alpha ^2 a b k \sin ^2(t) \sqrt{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}+2 a b \beta ^2 k \cos ^2(t) \sqrt{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}+\alpha ^2 a^2 b^2 \sin ^4(t)+a^2 b^2 \beta ^2 \cos ^4(t)+\alpha ^2 a^2 k^2 \sin ^2(t)-\alpha ^2 a^2 \beta ^2 \sin ^2(t)+a^4 \beta ^2 \sin ^2(t) \cos ^2(t)+b^2 \beta ^2 k^2 \cos ^2(t)-\alpha ^2 b^2 \beta ^2 \cos ^2(t)+\alpha ^2 b^4 \sin ^2(t) \cos ^2(t)=0}\)

Ponieważ funkcje stojące prze współczynnikach liczbowych nie stanowią bazy pewnej podprzestrzeni funkcyjnej to trudno coś tego wyciągnąć. Można jednak stosując wzorki trygonometryczne powadzić to to postaci

\begin{equation}
\begin{split}
& \left( -\frac{1}{2} \alpha ^2 a^2 \beta ^2+\frac{3}{8} \alpha ^2 a^2 b^2+\frac{3}{8} a^2 b^2 \beta ^2+\frac{a^4 \beta ^2}{8}+\frac{1}{2} \alpha ^2 a^2 k^2-\frac{1}{2} \alpha ^2 b^2 \beta ^2+\frac{\alpha ^2 b^4}{8}+\frac{1}{2} b^2 \beta ^2 k^2 \right) \times \red{1}\\
& + \left( -\frac{1}{2} a^2 \alpha ^2 b^2+\frac{1}{2} a^2 b^2 \beta ^2 -\frac{1}{2} a^2 \alpha ^2 k^2+\frac{1}{2} a^2 \alpha ^2 \beta ^2+\frac{1}{2} b^2 \beta ^2 k^2-\frac{1}{2} \alpha ^2 b^2 \beta ^2 \right) \times \red{ \cos (2 t)} \\
& + \left( \frac{1}{8} \alpha ^2 a^2 b^2 +\frac{1}{8} a^2 b^2 \beta ^2 -\frac{1}{8} a^4 \beta ^2 -\frac{1}{8} \alpha ^2 b^4\right) \times \red{\cos (4 t)}\\
& +\left( a \alpha ^2 b k +a b \beta ^2 k\right) \times \red{\sqrt{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}} \\
& +\left( -a \alpha ^2 b k+a b \beta ^2 k \right) \times \red{ \cos (2 t)\sqrt{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}} =0
\end{split}
\end{equation}

Okazuje się, że czerwone funkcje są liniowa niezależne o ile \(\displaystyle{ a \neq b}\) (co nie dziwi). Wrońskian to \(\displaystyle{ \frac{9 \left(a^2-b^2\right)^6 \sin ^{10}(2 t)}{\left(a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)\right)^5}}\). Zatem jeśli równanie ma być spełnione to każdy ze współczynników przy czerwonych funkcjach musi być zerem. I tu nie widzę innej opcji jak zacząć badać ten straszny nieliniowy układ. Oczywiście spodziewany się, że przy założeniu \(\displaystyle{ a \neq b}\) jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ k=0}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha =a}\), \(\displaystyle{ \beta =b}\). A przypadek \(\displaystyle{ a=b}\) sprawdzamy osobno (to są odsunięcia okręgu one są okręgami więc działa dla każdego \(\displaystyle{ k}\)). Chcemy pokazać, że nie ma innych nietrawionych rozwiązań. To znaczy kolokwialnie \(\displaystyle{ a \neq b \Rightarrow k=0}\)? I faktycznie niemożliwe jest aby \(\displaystyle{ a \neq b}\) oraz \(\displaystyle{ k \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ a \alpha ^2 b k +a b \beta ^2 k=0}\).

StudentIB · Post autor: **StudentIB** » 18 lis 2022, o 23:18

Bardzo dziękuję za szczegółowe rozpisanie tego, nie myślałen, że to aż tak złożona kwestia. Jestem ciekaw czy w literaturze też można znaleźć takie wyprowadzenia, ale pewnie nic z tego.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 19 lis 2022, o 07:12

To chyba nie jest aż tak skomplikowane:
Przypuśćmy, że równanie danej elipsy `E` to \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\).
Jedynym kandydatem wśród elips odsuniętych o `d` od niej jest elipsa `E_d` o równnaiu \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(a+d)^2}+\frac{y^2}{(b+d)^2}=1}\).

Prosta `y=x\tan t` przecina elipsę `E` w punkcie `P=(a\cos t, b\sin t)` a elipsę `E_d` w punkcie `Q=((a+d)\cos t,(b+d)\sin t)`. Odległość tych dwóch punktów wynosi `d`.

Jeżeli teraz narysujemy koło o środku `Q` i promieniu `d`, to to koło nie będzie styczne do elipsy w `P ` (sprawdź to), a zatem część elipsy znajdzie się w jego wnętrzu. A to znaczy, że odległość punkty `Q` od elipsy jest mniejsza niż d. Zatem elipsa `E_d` nie jest krzywą odsuniętą od `E` o `d`

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 19 lis 2022, o 09:41

StudentIB pisze: ↑18 lis 2022, o 23:18 nie myślałen, że to aż tak złożona kwestia. Jestem ciekaw czy w literaturze też można znaleźć takie wyprowadzenia, ale pewnie nic z tego.

Nie jest to aż tak bardzo złożone co właśnie pokazał a4karo. To jedynie mój pomysł był złożony bo wybrałem nie najlepszy sposób opisu elipsy. I nie pomyślałem o tym co napisał a4karo. Choć w jego rozumowaniu jest mikro luka (a przynajmniej tak mi się zdaje)

a4karo pisze: ↑19 lis 2022, o 07:12 Jedynym kandydatem wśród elips odsuniętych... \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(a+d)^2}+\frac{y^2}{(b+d)^2}=1}\)

Niekoniecznie. Czysto teoretycznie mogło by się tak zdarzyć, że półosie \(\displaystyle{ E_d}\) nie będą się pokrywać z osiami układu. Tak się nie stanie w co można uwierzyć ale czy nie wymaga to komentarza podczas dowodu (kwestia uznania). W sumie to chyba ten sam zarzut można postawić mi. Tak czy inaczej spodobało mi się, że mój pomysł korzysta z algebry liniowej co jest raczej nieoczekiwane i dlatego to napisałem. Inną kwestią jest to, że pewnie można by to było zrobić czysto geometrycznie i dużo prościej.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 19 lis 2022, o 10:36

Nie może, bo wtedy odbicie symetryczne względem osi też by było i syna też i... Tu wkracza Kubuś Puchatek

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 19 lis 2022, o 21:54

Przesunięcia równoległe krzywych.

Równanie parametrczne paraboli:

\(\displaystyle{ \mathcal{P}(t)= (t, \ \ t^2) }\)

Obliczamy współrzędne wektora stycznego

\(\displaystyle{ \mathcal{P'}(t) = (1, \ \ 2t) }\)

Obliczamy współrzędne wektora normalnego

\(\displaystyle{ \vec{n}_{\mathcal{P}}(t) = \left(\frac{-2t}{\sqrt{1 + 4t^2}}, \ \ \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}} \right).}\)

Przesunięcie równoległe paraboli na odległość \(\displaystyle{ d }\) w kierunku wektora normalnego:

\(\displaystyle{ \vec{O}_{\mathcal{P}} (t) = \left( t - d \frac{2t}{\sqrt{1+4t^2}}, \ \ t^2 + d \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}} \right). }\)

Przesunięcie równoległe elipsy .

\(\displaystyle{ \mathcal{E}(t) = ( a\cos(t), \ \ b\sin(t)) }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{E'}(t) = (-a\sin(t), \ \ b\cos(t), \ \ t\in (0, \ \ 2\pi)).}\)

\(\displaystyle{ \vec{n}_{\mathcal{E}}(t) = \left(\frac{-b\cos(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+ b^2\cos^2(t)}}, \ \ \frac{-a\sin(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+ b^2\cos^2(t)}}\right),}\)

\(\displaystyle{ \vec{O}_{\mathcal{E}}(t) = \left(a\cos(t) - d \frac{b \cos(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t) +b^2\cos^2(t)}}, \ \ b\sin(t) - d \frac{a\sin(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}} \right).}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 19 lis 2022, o 21:57

a4karo pisze: ↑19 lis 2022, o 10:36 Nie może, bo wtedy odbicie symetryczne względem osi też by było i suma też i... Tu wkracza Kubuś Puchatek

Bo by się okazało, że ta krzywa wcale krzywa nie jest

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 19 lis 2022, o 22:05

StudentIB

Duncan Marsch. APPLIED GEOMETRY FOR COMPUTER GRAPHICS AND CAD. Second edition,. Student Undergraduate Mathematics Springer 2005.

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 19 lis 2022, o 22:15

janusz47 pisze: ↑19 lis 2022, o 21:54 Przesunięcia równoległe krzywych...

@janusz47 staram się zrozumieć co skłoniło Cię do napisania tego postu. Jeśli sądzisz, że to jest dowód na to, że odsunięcie elipsy nie jest elipsą to się mylisz. To, że wzór nie wygląda na równanie elipsy to jeszcze nic nie znaczy. Tak jak \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos^2x}\) nie wygląda jak \(\displaystyle{ 1}\). No chyba, że miałeś inne motywacje piszą ten post?

janusz47 pisze: ↑19 lis 2022, o 22:05 Duncan Marsch. APPLIED GEOMETRY FOR COMPUTER GRAPHICS AND CAD. Second edition,. Student Undergraduate Mathematics Springer 2005.

@janusz47 mogę prosić o konkretną stronę tej książki, gdzie znajdę odpowiedź na pytanie StudentIB?

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 20 lis 2022, o 08:06

Przedstawiłem procedurę przesuwania krzywych (paraboli, elipsy) wzdłuż kierunku wektora normalnego.

W cytowanej książce nie ma odpowiedzi na pytanie czy przesunięta krzywa jest tą samą krzywą?

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 20 lis 2022, o 11:47

janusz47 pisze: ↑20 lis 2022, o 08:06 W cytowanej książce nie ma odpowiedzi na pytanie czy przesunięta krzywa jest tą samą krzywą?

Nie wiem. To Ty cytujesz książkę która ma ponad 360 stron. Rozumiem, że StudentIB ma sobie poszukać? A jak nie znajdzie to znaczy, że źle szukał?

PS tak wiem, że jest coś takiego jak spis treści... ale w dziale o odsunięciach nie znalazłem nic na temat elipsy. Dlatego ponawiam prośbę o podanie konkretnej strony na której znajdziemy odpowiedź na pytanie StudentIB.

StudentIB · Post autor: **StudentIB** » 20 lis 2022, o 23:42

Dziękuję za kolejne odpowiedzi. Zajrzałem do tej książki, ale niestety wygląda na to, że nie ma tam informacji o odsunięciu elipsy. Niemniej jednak jest to dobry trop i może musiałbym poszukać w innych książkach tego typu (geometria w grafice komputerowej / CAD).

Matematyka.pl

Odsunięcie elipsy

Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy

Re: Odsunięcie elipsy