Odsunięcie elipsy

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 612
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 47 razy

Odsunięcie elipsy

Post autor: StudentIB »

Witam,

czy jest jakaś literatura, w której znajdę matematyczny dowód na to, że odsunięcie elipsy nie jest elipsą (ponieważ odległości w kierunku normalnym pomiędzy odpowiadającymi sobie punktami na 2 współśrodkowych elipsach nie są równe na całym obwodzie elipsy) ? Jest to opisane w książkach do geometrii ? Na co dzień nie korzystam z takich podręczników, więc nie wiem gdzie szukać.

Z góry dziękuję za pomoc.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7487
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1603 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: janusz47 »

Co to jest " odsunięcie "?
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 612
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 47 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: StudentIB »

Mam na myśli krzywą równoległą. W praktyce (programy CAD) nazywa się to offsetem a po polsku odsunięciem:

Kod: Zaznacz cały

en.wikipedia.org/wiki/Parallel_curve
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3696
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 78 razy
Pomógł: 1266 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: Janusz Tracz »

pewien pomysł:    
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 612
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 47 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: StudentIB »

Bardzo dziękuję za szczegółowe rozpisanie tego, nie myślałen, że to aż tak złożona kwestia. Jestem ciekaw czy w literaturze też można znaleźć takie wyprowadzenia, ale pewnie nic z tego.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: a4karo »

To chyba nie jest aż tak skomplikowane:
Przypuśćmy, że równanie danej elipsy `E` to \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\).
Jedynym kandydatem wśród elips odsuniętych o `d` od niej jest elipsa `E_d` o równnaiu \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(a+d)^2}+\frac{y^2}{(b+d)^2}=1}\).

Prosta `y=x\tan t` przecina elipsę `E` w punkcie `P=(a\cos t, b\sin t)` a elipsę `E_d` w punkcie `Q=((a+d)\cos t,(b+d)\sin t)`. Odległość tych dwóch punktów wynosi `d`.


Jeżeli teraz narysujemy koło o środku `Q` i promieniu `d`, to to koło nie będzie styczne do elipsy w `P ` (sprawdź to), a zatem część elipsy znajdzie się w jego wnętrzu. A to znaczy, że odległość punkty `Q` od elipsy jest mniejsza niż d. Zatem elipsa `E_d` nie jest krzywą odsuniętą od `E` o `d`
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3696
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 78 razy
Pomógł: 1266 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: Janusz Tracz »

StudentIB pisze: 18 lis 2022, o 23:18 nie myślałen, że to aż tak złożona kwestia. Jestem ciekaw czy w literaturze też można znaleźć takie wyprowadzenia, ale pewnie nic z tego.
Nie jest to aż tak bardzo złożone co właśnie pokazał a4karo. To jedynie mój pomysł był złożony bo wybrałem nie najlepszy sposób opisu elipsy. I nie pomyślałem o tym co napisał a4karo. Choć w jego rozumowaniu jest mikro luka (a przynajmniej tak mi się zdaje)
a4karo pisze: 19 lis 2022, o 07:12 Jedynym kandydatem wśród elips odsuniętych... \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(a+d)^2}+\frac{y^2}{(b+d)^2}=1}\)
Niekoniecznie. Czysto teoretycznie mogło by się tak zdarzyć, że półosie \(\displaystyle{ E_d}\) nie będą się pokrywać z osiami układu. Tak się nie stanie w co można uwierzyć ale czy nie wymaga to komentarza podczas dowodu (kwestia uznania). W sumie to chyba ten sam zarzut można postawić mi. Tak czy inaczej spodobało mi się, że mój pomysł korzysta z algebry liniowej co jest raczej nieoczekiwane i dlatego to napisałem. Inną kwestią jest to, że pewnie można by to było zrobić czysto geometrycznie i dużo prościej.
Ostatnio zmieniony 19 lis 2022, o 10:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: a4karo »

Nie może, bo wtedy odbicie symetryczne względem osi też by było i syna też i... Tu wkracza Kubuś Puchatek
Ostatnio zmieniony 19 lis 2022, o 15:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7487
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1603 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: janusz47 »

Przesunięcia równoległe krzywych.

Równanie parametrczne paraboli:

\(\displaystyle{ \mathcal{P}(t)= (t, \ \ t^2) }\)

Obliczamy współrzędne wektora stycznego

\(\displaystyle{ \mathcal{P'}(t) = (1, \ \ 2t) }\)

Obliczamy współrzędne wektora normalnego

\(\displaystyle{ \vec{n}_{\mathcal{P}}(t) = \left(\frac{-2t}{\sqrt{1 + 4t^2}}, \ \ \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}} \right).}\)

Przesunięcie równoległe paraboli na odległość \(\displaystyle{ d }\) w kierunku wektora normalnego:

\(\displaystyle{ \vec{O}_{\mathcal{P}} (t) = \left( t - d \frac{2t}{\sqrt{1+4t^2}}, \ \ t^2 + d \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}} \right). }\)


Przesunięcie równoległe elipsy .

\(\displaystyle{ \mathcal{E}(t) = ( a\cos(t), \ \ b\sin(t)) }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{E'}(t) = (-a\sin(t), \ \ b\cos(t), \ \ t\in (0, \ \ 2\pi)).}\)

\(\displaystyle{ \vec{n}_{\mathcal{E}}(t) = \left(\frac{-b\cos(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+ b^2\cos^2(t)}}, \ \ \frac{-a\sin(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+ b^2\cos^2(t)}}\right),}\)

\(\displaystyle{ \vec{O}_{\mathcal{E}}(t) = \left(a\cos(t) - d \frac{b \cos(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t) +b^2\cos^2(t)}}, \ \ b\sin(t) - d \frac{a\sin(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}} \right).}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3515 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: a4karo »

a4karo pisze: 19 lis 2022, o 10:36 Nie może, bo wtedy odbicie symetryczne względem osi też by było i suma też i... Tu wkracza Kubuś Puchatek
Bo by się okazało, że ta krzywa wcale krzywa nie jest
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7487
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1603 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: janusz47 »

StudentIB

Duncan Marsch. APPLIED GEOMETRY FOR COMPUTER GRAPHICS AND CAD. Second edition,. Student Undergraduate Mathematics Springer 2005.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3696
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 78 razy
Pomógł: 1266 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: Janusz Tracz »

janusz47 pisze: 19 lis 2022, o 21:54 Przesunięcia równoległe krzywych...
@janusz47 staram się zrozumieć co skłoniło Cię do napisania tego postu. Jeśli sądzisz, że to jest dowód na to, że odsunięcie elipsy nie jest elipsą to się mylisz. To, że wzór nie wygląda na równanie elipsy to jeszcze nic nie znaczy. Tak jak \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos^2x}\) nie wygląda jak \(\displaystyle{ 1}\). No chyba, że miałeś inne motywacje piszą ten post?
janusz47 pisze: 19 lis 2022, o 22:05 Duncan Marsch. APPLIED GEOMETRY FOR COMPUTER GRAPHICS AND CAD. Second edition,. Student Undergraduate Mathematics Springer 2005.
@janusz47 mogę prosić o konkretną stronę tej książki, gdzie znajdę odpowiedź na pytanie StudentIB?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7487
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1603 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: janusz47 »

Przedstawiłem procedurę przesuwania krzywych (paraboli, elipsy) wzdłuż kierunku wektora normalnego.

W cytowanej książce nie ma odpowiedzi na pytanie czy przesunięta krzywa jest tą samą krzywą?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3696
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 78 razy
Pomógł: 1266 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: Janusz Tracz »

janusz47 pisze: 20 lis 2022, o 08:06 W cytowanej książce nie ma odpowiedzi na pytanie czy przesunięta krzywa jest tą samą krzywą?
Nie wiem. To Ty cytujesz książkę która ma ponad 360 stron. Rozumiem, że StudentIB ma sobie poszukać? A jak nie znajdzie to znaczy, że źle szukał?

PS tak wiem, że jest coś takiego jak spis treści... ale w dziale o odsunięciach nie znalazłem nic na temat elipsy. Dlatego ponawiam prośbę o podanie konkretnej strony na której znajdziemy odpowiedź na pytanie StudentIB.
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 612
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 47 razy

Re: Odsunięcie elipsy

Post autor: StudentIB »

Dziękuję za kolejne odpowiedzi. Zajrzałem do tej książki, ale niestety wygląda na to, że nie ma tam informacji o odsunięciu elipsy. Niemniej jednak jest to dobry trop i może musiałbym poszukać w innych książkach tego typu (geometria w grafice komputerowej / CAD).
ODPOWIEDZ