Matematyka.pl

Witam!

Czy da się napisać wzór do obliczenia cięciwy dla układu zrobionego w programie CAD.
Dane: Promień okręgu(250), odległość(600), kąt między prostymi(20)
Obliczyć: długość cięciwy.

Sam wzór? Pewnie że się da, nazwijmy te dane, które masz, kąt \(\displaystyle{ \phi}\) odcinek pionowy po lewej \(\displaystyle{ l}\), promień wiadomo \(\displaystyle{ r}\) odległość która tu ma 600 \(\displaystyle{ d}\)
Najpierw z tw. cosinusów wyciągam długość całej ukośnej linii nazwijmy ją \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{
l^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos\phi = 2a^2 (1-\cos\phi)\\
a = \sqrt{\frac{l}{2(1-\cos\phi)}}\\
}\)

Teraz rysuję promień od środka do jednego z punktów przecięcia kośnej linii po prawej z okręgiem i znowu z tw. cosinusów liczę ten krótki kawałek ukośnej linii poza okręgiem, nazwijmy go \(\displaystyle{ k}\)

\(\displaystyle{
r^2 = (d-r)^2 + k^2 - 2(d-r)k\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)\\
k^2 - 2(d-r)k\cos\left( \frac{\phi}{2} \right) + d^2 - 2dr = 0\\
}\)
tutaj mała uwaga, to równanie będzie miało 2 rozwiązania ale uwzględniamy mniejsze, stąd brak znaku plus minus

\(\displaystyle{
k^2 - 2(d-r)k\cos\left( \frac{\phi}{2} \right) + d^2 - 2dr = 0\\

k = \frac{ 2(d-r)\cos\left( \frac{\phi}{2} \right) - \sqrt{ \left(2(d-r)\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)\right)^2 - 4\left( d^2-2dr \right) } }{ 2 }
}\)

i składamy w całość, cięciwa to cała ukośna minus ten krótki kawałek który wystaje
\(\displaystyle{
x = \sqrt{\frac{l}{2(1-\cos\phi)}} - \frac{ 2(d-r)\cos\left( \frac{\phi}{2} \right) - \sqrt{ \left(2(d-r)\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)\right)^2 - 4\left( d^2-2dr \right) } }{ 2 }
}\)

Dodano po 2 minutach :
Sam wzór? Pewnie że się da, nazwijmy te dane, które masz, kąt \(\displaystyle{ \phi}\) odcinek pionowy po lewej \(\displaystyle{ l}\), promień wiadomo \(\displaystyle{ r}\) odległość która tu ma 600 \(\displaystyle{ d}\)
Najpierw z tw. cosinusów wyciągam długość całej ukośnej linii nazwijmy ją \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{
l^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos\phi = 2a^2 (1-\cos\phi)\\
a = \sqrt{\frac{l}{2(1-\cos\phi)}}\\
}\)

Teraz rysuję promień od środka do jednego z punktów przecięcia kośnej linii po prawej z okręgiem i znowu z tw. cosinusów liczę ten krótki kawałek ukośnej linii poza okręgiem, nazwijmy go \(\displaystyle{ k}\)

\(\displaystyle{
r^2 = (d-r)^2 + k^2 - 2(d-r)k\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)\\
k^2 - 2(d-r)k\cos\left( \frac{\phi}{2} \right) + d^2 - 2dr = 0\\
}\)
tutaj mała uwaga, to równanie będzie miało 2 rozwiązania ale uwzględniamy mniejsze, stąd brak znaku plus minus

\(\displaystyle{
k^2 - 2(d-r)k\cos\left( \frac{\phi}{2} \right) + d^2 - 2dr = 0\\

k = \frac{ 2(d-r)\cos\left( \frac{\phi}{2} \right) - \sqrt{ \left(2(d-r)\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)\right)^2 - 4\left( d^2-2dr \right) } }{ 2 }
}\)

i składamy w całość, cięciwa to cała ukośna minus ten krótki kawałek który wystaje
\(\displaystyle{
x = \sqrt{\frac{l}{2(1-\cos\phi)}} - \frac{ 2(d-r)\cos\left( \frac{\phi}{2} \right) - \sqrt{ \left(2(d-r)\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)\right)^2 - 4\left( d^2-2dr \right) } }{ 2 }
}\)

Witam!
Bardzo dziękuję za obliczenia i przepraszam bo teraz widzę że źle wyjaśniłem o co mi chodzi. A mianowicie cięciwa do której potrzebuję wzór to niebieska cięciwa z wymiarem 203,9- ona jest w zasadzie niewiadomą. Pozostałe dane a więc kąt pomiędzy prostymi, promień okręgu, i odległość punktu przecięcia do okręgu będą się zmieniać (punkt przecięcia może znajdować się nawet wewnątrz okręgu) i na ich podstawie chciałem obliczać cięciwę. Jeżeli ktoś by jeszcze mógł się nad tym pochylić to byłbym bardzo wdzięczny.
Mam nadzieję że powyższe obliczenia będą również komuś przydatne.

Dziękuję

Wydaje mi się, że nie ma się tu nad czym już pochylać bo rozwiązanie jest wyczerpujące temat zagadnienia...

Być może ale sam tego nie ogarnę.

On stosował twierdzenie cosinusów i rzeczywiście dopóki samemu się nie przejdzie przez obliczenia tego typu to dość trudno od samego patrzenia na te wzory pojąć to momentalnie... Może to i groźnie wygląda ale nie jest to aż takie trudne..., lecz trzeba analizować krok po kroku...

No to prościej:
Niech \(\displaystyle{ a=\cos^2\frac{\pi}{18}}\). Zachodzi tożsamość \(\displaystyle{ 1+\tan^2u=\frac{1}{\cos^2u}}\).
Umieszczamy początek układu współrzędnych w punkcie przecięcia prostych.
Równanie górnej prostej to \(\displaystyle{ y=-\tan\frac{\pi}{18} x}\), równanie okręgu to \(\displaystyle{ (x+350)^2+y^2=250^2}\),
co prowadzi do równania
\(\displaystyle{ x^2+700ax+60000a=0}\), które ma dwa u pierwiastki `x_1<x_2<0` a szukana długość cięciwy to \(\displaystyle{ -2\tan\frac{\pi}{18} x_1}\).