Matematyka.pl

W trójkącie równoramiennym ABC (|AC|= |BC|) miara kąta ACB jest rowna 2 alfa. Promień okręgu wppisanego w ten trójkąt ma długość r. oblicz długości boków trójkąta ABC

r- promień kręgu wpisanego w trójkąt ABC
\(\displaystyle{ 2\alpha}\)- Kąt ACB

Niech będzie dana podstawa lABl=2a

lACl=lBCl=c- ramię
D- spodek wysokości trójkąta opuszczony na lABl (lADl=lDBl=a)
h - wysokość lCDl

Z trójkąra prostokątnego ADC :
*\(\displaystyle{ cos = \frac{a}{c} c= \frac{a}{cos\alpha}}\)
*\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{a}{h} h=}\)frac{a}{tgalpha} [/latex]

mamy dwa wzory na pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P= \frac{obwód trójkata}{2} r}\) oraz \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} h ft|AB \right|}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{2 \frac{a}{cos\alpha} +2a }{2} r= \frac{1}{2} h 2a}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a}{cos\alpha}+a)r= \frac{a}{tg\alpha} a}\)
\(\displaystyle{ ar( \frac{1}{cos\alpha}+1)= \frac{a ^{2} }{tg\alpha}}\)
\(\displaystyle{ r ( \frac{cos\alpha+1}{cos\alpha})= \frac{a}{tg\alpha}}\)
\(\displaystyle{ a=r tg\alpha ( \frac{cos\alpha+1}{cos\alpha})}\)
\(\displaystyle{ \left|AB \right|=2 r tg\alpha ( \frac{cos\alpha+1}{cos\alpha})}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right|= ft|BC \right| = \frac{r tg\alpha ( \frac{cos\alpha+1}{cos\alpha})}{cos\alpha}}\)

mi wyszło coś takiego chyba nie ma błedu...