Dzień dobry!
Zabrakło mi wiedzy, doświadczenia, oraz co najważniejsze wyobraźni, ale pewnie z Państwa pomocą będzie to błahostka.
Otóż potrzebuję wyznaczyć pozycję mocowania siłownika hydraulicznego.
Treść czystoszkolna:
Znaleźć długość \(\displaystyle{ l}\) oraz punkt \(\displaystyle{ P}\) wiedząc że: \(\displaystyle{ |PA'| = 710, |PA| = 460, O=(0,0)}\) kąt pomiędzy \(\displaystyle{ r_1}\) a \(\displaystyle{ r_2 = 30^\circ}\), a kąt pomiędzy \(\displaystyle{ r_2}\) a \(\displaystyle{ r_3 = 70^\circ, |l| = |PA'| = |PA|.}\)
Nietypowe zadanie z geometrii, "tego nie było w szkole"
-
prokurator
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 wrz 2017, o 12:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
Nietypowe zadanie z geometrii, "tego nie było w szkole"
- Załączniki
-
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2023, o 12:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Poprawa wiadomości: błahostka.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Poprawa wiadomości: błahostka.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8447
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 303 razy
- Pomógł: 3303 razy
Re: Nietypowe zadanie z geometrii, "tego nie było w szkole"
Moim zdaniem dla \(\displaystyle{ l < 710-460}\) oraz dla \(\displaystyle{ l > 710+460}\) zadanie nie ma rozwiązania. Dla dowolnego innego \(\displaystyle{ l}\) istnieje \(\displaystyle{ P}\).
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2023, o 15:45 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - dodane [latex][/latex].
Powód: Poprawa wiadomości - dodane [latex][/latex].
-
prokurator
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 wrz 2017, o 12:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
Re: Nietypowe zadanie z geometrii, "tego nie było w szkole"
widzę że admin/mod błędnie poprawił treść zadania
\(\displaystyle{ |A_o'| = |A_o| = l }\)
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2023, o 14:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 33178
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5128 razy
Re: Nietypowe zadanie z geometrii, "tego nie było w szkole"
Raczej Ty źle napisałeś - ja tylko dodałem tagi.prokurator pisze: ↑19 wrz 2023, o 07:16widzę że admin/mod błędnie poprawił treść zadania
\(\displaystyle{ |A_o'| = |A_o| = l }\)
JK
-
matmatmm
- Użytkownik
- Posty: 2236
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 341 razy
Re: Nietypowe zadanie z geometrii, "tego nie było w szkole"
To zadanie to kwestia znalezienia punktu przecięcia dwóch okręgów. Kąt między \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\) nie ma znaczenia dla zadania, podobnie jak długość tych promieni. Interesuje nas trójkąt \(\displaystyle{ \triangle OAA'}\), który przy spełnionych warunkach zadania jest równoramienny. Zataczamy okręgi o promieniach odpowiednio \(\displaystyle{ 710}\) oraz \(\displaystyle{ 460}\) z punktów \(\displaystyle{ A'}\) oraz \(\displaystyle{ A}\). Obliczmy długości skrajne \(\displaystyle{ l}\), dla których te okręgi są styczne zewnętrznie lub wewnętrznie.
1. Styczne zewnętrznie
Mamy trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ 710+460=1170}\) i kącie przy wierzchołku \(\displaystyle{ 70^{\circ}}\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych \(\displaystyle{ l=\frac{585}{\sin 35^{\circ}}\approx 1120}\).
2. Styczne wewnętrznie
Mamy trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ 710-460=250}\) i kącie przy wierzchołku \(\displaystyle{ 70^{\circ}}\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych \(\displaystyle{ l=\frac{125}{\sin 35^{\circ}}\approx 218}\).
Dla każdego \(\displaystyle{ l}\) między tymi wartościami mamy dokładnie dwa punkty \(\displaystyle{ P}\), które spełniają warunki zadania.
1. Styczne zewnętrznie
Mamy trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ 710+460=1170}\) i kącie przy wierzchołku \(\displaystyle{ 70^{\circ}}\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych \(\displaystyle{ l=\frac{585}{\sin 35^{\circ}}\approx 1120}\).
2. Styczne wewnętrznie
Mamy trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ 710-460=250}\) i kącie przy wierzchołku \(\displaystyle{ 70^{\circ}}\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych \(\displaystyle{ l=\frac{125}{\sin 35^{\circ}}\approx 218}\).
Dla każdego \(\displaystyle{ l}\) między tymi wartościami mamy dokładnie dwa punkty \(\displaystyle{ P}\), które spełniają warunki zadania.
-
prokurator
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 wrz 2017, o 12:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
-
matmatmm
- Użytkownik
- Posty: 2236
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 341 razy
Re: Nietypowe zadanie z geometrii, "tego nie było w szkole"
Przejdźmy do geometrii analitycznej. Mamy
\(\displaystyle{ A=(x_A,y_A)=(l\cos 240^\circ,l\sin240^\circ)}\)
\(\displaystyle{ A'=(x_{A'},y_{A'})=(l\cos 170^\circ,l\sin170^\circ)}\)
\(\displaystyle{ r_A=460, r_{A'}=710}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ P=(x,y)}\). Dostajemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r_A^2 \\ (x-x_{A'})^2+(y-y_{A'})^2=r_{A'}^2
\end{cases}}\)
Po odjęciu stronami
\(\displaystyle{ 2x(x_{A'}-x_A)+x_A^2-x_{A'}^2+2y(y_{A'}-y_A)+y_A^2-y_{A'}^2=r_{A}^2-r_{A'}^2}\)
Potem wyliczamy na przykład \(\displaystyle{ y}\), wstawiamy do jednego z wyjściowych równań i rozwiązujemy równanie kwadratowe.
Rachunki są straszne, ale za to w Internecie można znaleźć gotowe wzory np. taki:
\(\displaystyle{ (x,y)=\frac{1}{2}(x_A+x_{A'}, y_A+y_{A'})+\frac{r_A^2-r_{A'}^2}{2R^2}(x_{A'}-x_{A}, y_{A'}-y_A) \pm \sqrt{2\frac{r_A^2+r_{A'}^2}{R^2}-\frac{(r_A^2-r_{A'}^2)^2}{R^4}}(y_{A'}-y_A, x_{A}-x_{A'})}\),
gdzie \(\displaystyle{ R=\sqrt{(x_A-x_{A'})^2+(y_A-y_{A'})^2}}\)
Źródło:
Dodano po 4 minutach 34 sekundach:
PS. Zastanawiam się dlaczego punkty \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A'}\) na rysunku nie znajdują się w jednakowej odległości od środka tak jak w treści zadania. Czy to drobne niedopatrzenie?
\(\displaystyle{ A=(x_A,y_A)=(l\cos 240^\circ,l\sin240^\circ)}\)
\(\displaystyle{ A'=(x_{A'},y_{A'})=(l\cos 170^\circ,l\sin170^\circ)}\)
\(\displaystyle{ r_A=460, r_{A'}=710}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ P=(x,y)}\). Dostajemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r_A^2 \\ (x-x_{A'})^2+(y-y_{A'})^2=r_{A'}^2
\end{cases}}\)
Po odjęciu stronami
\(\displaystyle{ 2x(x_{A'}-x_A)+x_A^2-x_{A'}^2+2y(y_{A'}-y_A)+y_A^2-y_{A'}^2=r_{A}^2-r_{A'}^2}\)
Potem wyliczamy na przykład \(\displaystyle{ y}\), wstawiamy do jednego z wyjściowych równań i rozwiązujemy równanie kwadratowe.
Rachunki są straszne, ale za to w Internecie można znaleźć gotowe wzory np. taki:
\(\displaystyle{ (x,y)=\frac{1}{2}(x_A+x_{A'}, y_A+y_{A'})+\frac{r_A^2-r_{A'}^2}{2R^2}(x_{A'}-x_{A}, y_{A'}-y_A) \pm \sqrt{2\frac{r_A^2+r_{A'}^2}{R^2}-\frac{(r_A^2-r_{A'}^2)^2}{R^4}}(y_{A'}-y_A, x_{A}-x_{A'})}\),
gdzie \(\displaystyle{ R=\sqrt{(x_A-x_{A'})^2+(y_A-y_{A'})^2}}\)
Źródło:
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/256100/how-can-i-find-the-points-at-which-two-circles-intersectPS. Zastanawiam się dlaczego punkty \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A'}\) na rysunku nie znajdują się w jednakowej odległości od środka tak jak w treści zadania. Czy to drobne niedopatrzenie?