Matematyka.pl

Punkt \(\displaystyle{ P}\) działki kwadratowej \(\displaystyle{ ABCD}\) został tak wybrany, że \(\displaystyle{ |PA|=200m}\), \(\displaystyle{ |PB|=60m}\), \(\displaystyle{ |PC|=160m}\). Oblicz powierzchnię działki.

Niestety trzy twierdzenia cosinusów lub też fakt, że połowa pola kwadratu jest równa sumie pól \(\displaystyle{ P_{APB}, P_{BPC}, P_{APC}}\) wyprowadziły mnie tylko w pole (niestety nie w pole kwadratu).

Masz trzy równania (trzy twierdzenia kosinusów i trzy niewiadome (dwa kąty miedzy odcinkami i kwadrat boku). Powinno pójść. Pokaż rachunki

Zadanie na zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, obliczenie pól trójkątów i prostokąta, na które został podzielony kwadrat i rozwiązanie układu równań.

\(\displaystyle{ a+b+c=1, 2a+2b+2c=2, 3a+3b+3c=3}\) to też trzy równania.
Wklejam jako obrazek, bo kopię swojej pracy mam tylko w Wordzie (jak przepisywałem co już mam)
Zdjęcie [ciach]

janusz47 pisze: ↑24 lis 2019, o 19:48 Zadanie na zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, obliczenie pól trójkątów i prostokąta, na które został podzielony kwadrat i rozwiązanie układu równań.

Raczej nie. Nie ma żadnego prostokata (chyba, że ja źle rozumiem zadanie):

Niech \(\displaystyle{ |AB|=|BC|=x,\ |PA|=a,\ |PB|=b,\ |PC|=c}\).
Wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\) opuszczoną z \(\displaystyle{ P}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ H}\), wysokość trójkąta \(\displaystyle{ BCP}\) opuszczoną z \(\displaystyle{ P}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ h}\).
$$\begin{cases}a^2=H^2+(x-h)^2\\ b^2=H^2+h^2\\ c^2=h^2+(x-H)^2\end{cases}$$
Da się to zrobić, wyjdzie dwukwadratowe względem \(\displaystyle{ x}\), ale przecież potrzebujesz \(\displaystyle{ x^2}\).

Ok, dzięki. Teraz już to widzę.

Koszmarek \(\displaystyle{ 400\left( 82+3 \sqrt{119} \right) }\), czy się pomyliłem

Pozdrawiam

Otrzymałem dokładnie ten sam wynik.

Rysunek

Dane:

\(\displaystyle{ |\overline{PA}| = 200 \ \ m = 2 \ \ hm. }\)

\(\displaystyle{ |\overline{PB}| = 60 \ \ m = 0,6 \ \ hm. }\)

\(\displaystyle{ |\overline{PC}| = 160 \ \ m = 1,6 \ \ hm. }\)

Obliczyć

\(\displaystyle{ |P| }\) - powierzchnię działki.

Rozwiązanie

Oznaczenia

\(\displaystyle{ |\overline{PA}|= a. }\)

\(\displaystyle{ |\overline{PB}| = b. }\)

\(\displaystyle{ |\overline{PC}| = c. }\)

\(\displaystyle{ |\angle ABP| = \beta. }\)

\(\displaystyle{ |\overline{AB}|= |\overline{BC}| = |\overline{CD}| = |\overline{DA}| = x. }\)

Stosujemy twierdzenie kosinusów (Carnota) dla \(\displaystyle{ \triangle ABP }\)

\(\displaystyle{ a^2 = x^2 + b^2 - 2b\cdot x\cos(\beta) \ \ (1) }\)

Stosujemy twierdzenie kosinusów (Carnota) dla \(\displaystyle{ \triangle BPC }\)

\(\displaystyle{ c^2 = x^2 + b^2 - 2b\cdot x\cos\left (90^{o} -\beta \right) \ \ }\)

\(\displaystyle{ c^2 = x^2 + b^2 - 2b\cdot x\sin (\beta ) \ \ (2) }\)

Z równań \(\displaystyle{ (1), \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ \cos(\beta) = \frac{x^2 +b^2 - a^2}{2bx} \ \ (3) }\)

\(\displaystyle{ \sin(\beta) = \frac{x^2 +b^2 - c^2}{2bx} \ \ (4) }\)

Podnosimy równania \(\displaystyle{ (3), \ \ (4) }\) do kwadratu i dodajemy stronami

\(\displaystyle{ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = \frac{ (x^2 +b^2 -c^2)^2 + (x^2 +b^2 -a^2)^2}{(2bx)^2}. }\)

Uwzględniamy jedynkę trygonometryczną

\(\displaystyle{ 1 = \frac{ (x^2 +b^2 -c^2)^2 + (x^2 +b^2 -a^2)^2}{(2bx)^2}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ 1 = \frac{ x^4 +2(b^2-c^2)x^2 + (b^2 -c^2)^2 +x^4 +2(b^2 -a^2)x^2 + (b^2 -a^2)}{4b^2x^2} }\)

\(\displaystyle{ 2x^4 + [2(b^2 -a^2) + 2(b^2 -c^2) - 4b^2 ]x^2 + (b^2 -a^2)^2 +(b^2 -c^2) = 0. }\)

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe ze względu na \(\displaystyle{ x }\) - długość boku działki

Uwzględniamy dane liczbowe:

\(\displaystyle{ a = 2 \ \ hm, \ \ b = 0,6 \ \ hm, \ \ c = 1,6 \ \ hm. }\)

\(\displaystyle{ 2x^4 + [2 (0,6^2 -2^2) +2(0,6^2 -1,6^2) - 4(0,6)^2]x^2 + (0,6^2 -2^2)^2 + (0,6^2 - 1,6^2) = 0 }\)

\(\displaystyle{ 2x^4 - 13,120 x^2 +18,090 = 0 | \cdot \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ x^4 - 6,56 x^2 + 9,0450 = 0. }\)

Otrzymujemy dwa rozwiązania dodatnie:

\(\displaystyle{ x_{1} \approx 1,4 \ \ hm. }\)

\(\displaystyle{ x_{2} \approx 2,1 \ \ hm. }\)

Powstaje pytanie, czy możemy przyjąć długość boku działki \(\displaystyle{ x_{1} = 1,4 \ \ hm?}\)

Odpowiedź jest negatywna, bo z rysunku wynika, że

\(\displaystyle{ x \geq |\overline{PA} | = 200 \ \ m = 2 \ \ hm. }\)

Przyjmujemy \(\displaystyle{ x = 2,1 \ \ hm. }\)

Pole działki wynosi

\(\displaystyle{ |P| = x^2 }\)

\(\displaystyle{ |P| = (2,1)^2 \ \ hm^2 = 4,41 \ \ hm^2 = 44100 \ \ m^2. }\)

Dodano po 48 minutach 6 sekundach:
Korekta

Jest

\(\displaystyle{ 2x^4 + [2(b^2 -a^2) + 2(b^2 -c^2) - 4b^2 ]x^2 + (b^2 -a^2)^2 +(b^2 -c^2) = 0. }\)

\(\displaystyle{ 2x^4 +[2(0,6^2 -2^2) +2(0,6^2 -1,6^2) - 4 (0,6)^2] x^2 +(0,6^2 -2^2) +( 0,6^2 -1,6^2) = 0 }\)

Powinno być:

\(\displaystyle{ 2x^4 + [2(b^2 -a^2) + 2(b^2 -c^2) - 4b^2 ]x^2 + (b^2 -a^2)^2 +(b^2 -c^2)^2 = 0. }\)

\(\displaystyle{ 2x^4 +[2(0,6^2 -2^2) +2(0,6^2 -1,6^2) - 4 (0,6)^2] x^2 +(0,6^2 -2^2)^2 +( 0,6^2 -1,6^2)^2 = 0 }\)

Miło widzieć inny sposób rozwiązania tego samego zadania. Każdy z forumowiczów może wybrać sobie ten, który do niego bardziej przemawia. Pozwolę sobie jednocześnie odnieść się do oskarżenia z innego wątku:

janusz47 pisze: ↑25 lis 2019, o 19:29 Zauważyłem, że Pana obecność na tym forum polega na zgadzaniu się ("otrzymałem dokładnie taki sam wynik") - chociaż wynik jest błędny lub niezgadzaniu się z wynikami.

Wynik nie jest błędny. Zarówno rozwiązanie pana JHN, moje (którego nie chciało mi się tu przepisywać) jak i pana janusz47 prowadzi do tego samego wyniku. Już tłumaczę.

Podstawienie w równaniu (tym, które występuje tuż przed słowami Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe ze względu na...)

\(\displaystyle{ a^4 - 2 a^2 b^2 + 2 b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 - 2 a^2 x^2 - 2 c^2 x^2 + 2 x^4 = 0}\)

wartości z zadania, to znaczy

\(\displaystyle{ a = 2, b = \frac 3 5, c = \frac 8 5}\)

prowadzi do nieco mniej przerażającej postaci,

\(\displaystyle{ \frac{11306}{625} - \frac{328}{25} x^2 + 2 x^4 = 0}\).

Teraz jest już z górki, można szukać miejsca zerowego szkolnymi metodami (równanie jest bikwadratowe, podstawiamy za kwadrat niewiadomej, itd.) albo pójść na łatwiznę, wklepać równanie do jakiegoś komputerowego systemu obliczeń symbolicznych. Wybrałem drugą ścieżkę i dostałem

\(\displaystyle{ x = \frac 1 5 \sqrt{82 + 3 \sqrt{119}} \approx 2.14221}\)

hektometrów, co potwierdza obiecaną zgodność wszystkich trzech rozwiązań.

Otrzymał Pan podziękowanie za wynik

\(\displaystyle{ 400 (82 +32\sqrt{119}) \approx 4,6 \cdot 10^4 \ \ m }\)

Gosda pisze: ↑25 lis 2019, o 07:39 Otrzymałem dokładnie ten sam wynik.

Octave 4.2.1 Nieładnie, znowu robi Pan "czary mary"- oszustwo.

Ale polecenie w zadaniu brzmiało "oblicz powierzchnię działki" i to jest powierzchnia działki (w metrach kwadratowych oczywiście).

Nie do końca rozumiem kierunek, w którym rozwija się ten wątek...

Ja tylko przetrenowałem układ, przyjazny zresztą, z postu bosa_Nike i odpowiedź nie do końca mi się spodobała...

Pozdrawiam

[edited] odpowiedź, czyli pole kwadratu w \(\displaystyle{ m^2}\)

To nie poprawna jest powierzchnia działki.