Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD }\) o boku długości \(\displaystyle{ 2}\). Na okręgu wpisanym w ten kwadrat leży punkt \(\displaystyle{ M}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ MA^{2}+ MB^{2}+ MC^{2}+ MD^{2}=12 . }\)
Kwadrat opisany a okręgu
Kwadrat opisany a okręgu
Ostatnio zmieniony 7 mar 2023, o 18:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
malgoskk
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 11:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Piotrków Tryb.
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Kwadrat opisany a okręgu
Niech kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie opisany na okręgu \(\displaystyle{ \left( O,r\right) }\).
Wówczas \(\displaystyle{ r=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AO\right|=\left| OC\right| =\left| DO\right| =\left| OB\right|= \sqrt{2} }\).
Niech \(\displaystyle{ \measuredangle AOM= \alpha, \measuredangle DOM= \beta , \\więc \\ \measuredangle MOC=180 - \alpha , \measuredangle MOB= 180 - \beta.}\)
Z twierdzenia cosinusów dostajemy dla poszczególnych trójkątów:
\(\displaystyle{ \left| AM \right| ^{2}= r^{2}+ \left|AO \right|^{2} -2r\left| AO\right|\cos \alpha }\),
\(\displaystyle{ \left| MC \right| ^{2}= r^{2}+ \left|OC \right|^{2} -2r\left| OC\right|\cos \left( 180- \alpha \right) }\),
\(\displaystyle{ \left| MB \right| ^{2}= r^{2}+ \left|OB \right|^{2} -2r\left| OB\right|\cos \beta }\),
\(\displaystyle{ \left| MD \right| ^{2}= r^{2}+ \left|DO \right|^{2} -2r\left| DO\right|\cos \left(180- \beta \right) }\).
Dodając do siebie powyższe równania i podstawiając za \(\displaystyle{ r=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AO\right|=\left| OC\right| =\left| DO\right| =\left| OB\right|= \sqrt{2} }\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left| AM \right| ^{2} +\left| MC \right| ^{2}+\left| MB \right| ^{2}+\left| MD \right| ^{2}=
\\12-2 \sqrt{2} \cos \alpha +2 \sqrt{2}\cos \alpha -2 \sqrt{2}\cos \beta +2 \sqrt{2}\cos \beta =12 }\)
Wówczas \(\displaystyle{ r=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AO\right|=\left| OC\right| =\left| DO\right| =\left| OB\right|= \sqrt{2} }\).
Niech \(\displaystyle{ \measuredangle AOM= \alpha, \measuredangle DOM= \beta , \\więc \\ \measuredangle MOC=180 - \alpha , \measuredangle MOB= 180 - \beta.}\)
Z twierdzenia cosinusów dostajemy dla poszczególnych trójkątów:
\(\displaystyle{ \left| AM \right| ^{2}= r^{2}+ \left|AO \right|^{2} -2r\left| AO\right|\cos \alpha }\),
\(\displaystyle{ \left| MC \right| ^{2}= r^{2}+ \left|OC \right|^{2} -2r\left| OC\right|\cos \left( 180- \alpha \right) }\),
\(\displaystyle{ \left| MB \right| ^{2}= r^{2}+ \left|OB \right|^{2} -2r\left| OB\right|\cos \beta }\),
\(\displaystyle{ \left| MD \right| ^{2}= r^{2}+ \left|DO \right|^{2} -2r\left| DO\right|\cos \left(180- \beta \right) }\).
Dodając do siebie powyższe równania i podstawiając za \(\displaystyle{ r=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AO\right|=\left| OC\right| =\left| DO\right| =\left| OB\right|= \sqrt{2} }\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left| AM \right| ^{2} +\left| MC \right| ^{2}+\left| MB \right| ^{2}+\left| MD \right| ^{2}=
\\12-2 \sqrt{2} \cos \alpha +2 \sqrt{2}\cos \alpha -2 \sqrt{2}\cos \beta +2 \sqrt{2}\cos \beta =12 }\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22241
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Kwadrat opisany a okręgu
Jeżeli wierzchołki kwadratu są punktami `(\pm1,\pm1)`, a punkt `M` ma współrzędne `(x,y)`
\begin{align}
\sum_X MX^2=&\phantom{+}(x-1)^2+(y-1)^2\\
&+(x-1)^2+(y+1)^2\\
&+(x+1)^2+(y-1)^2\\
&+(x+1)^2+(y+1)^2\\
=&4(x^2+y^2)+8
\end{align}
To pokazuje dwie rzeczy:
1 - że szukana suma jest równa `12`
2 - miejscem geometrycznym punktów, których suma kwadratów odległości od wierzchołków kwadratu jest okrąg.
Dodano po 1 godzinie 11 minutach 4 sekundach:
2 - miejscem geometrycznym punktów, których suma kwadratów odległości od wierzchołków wielokąta foremnego jest okrąg.
Dowód jest taki sam (można wykorzystać liczny zespolone, lub fakt, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}\sin \frac{2k\pi}{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\cos \frac{2k\pi}{n}=0}\))
\begin{align}
\sum_X MX^2=&\phantom{+}(x-1)^2+(y-1)^2\\
&+(x-1)^2+(y+1)^2\\
&+(x+1)^2+(y-1)^2\\
&+(x+1)^2+(y+1)^2\\
=&4(x^2+y^2)+8
\end{align}
To pokazuje dwie rzeczy:
1 - że szukana suma jest równa `12`
2 - miejscem geometrycznym punktów, których suma kwadratów odległości od wierzchołków kwadratu jest okrąg.
Dodano po 1 godzinie 11 minutach 4 sekundach:
2 - miejscem geometrycznym punktów, których suma kwadratów odległości od wierzchołków wielokąta foremnego jest okrąg.
Dowód jest taki sam (można wykorzystać liczny zespolone, lub fakt, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}\sin \frac{2k\pi}{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\cos \frac{2k\pi}{n}=0}\))