Matematyka.pl

Czy koło o średnicy \(\displaystyle{ 1}\) można przykryć mniej niż \(\displaystyle{ n}\) paskami (prostokątami) \(\displaystyle{ 1 \times \frac{1}{n} }\)

Nie wiem czy dobrze rozumiem treść tego zadania, ale i tak rozwiąże je w swojej wersji.
Ja rozumiem, że \(\displaystyle{ n}\) jest ustalone, i możemy używać wielokrotnie prostokątów o tych samych wymiarach.
Wtedy, do pokrycia koła, potrzeba użyć co najmniej \(\displaystyle{ n}\) takich prostoķątów.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to oczywiste;
a dla \(\displaystyle{ n \ge 2,}\) to gdybyśmy umieszczali prostokąty tak, aby stykałyby się na brzegach ( i tak, aby w kierunku prostopadłym boki prostoķątów długości jeden zajmowały cały możliwy obszar koła), wtedy oczywiście potrzeba użyć dokładnie \(\displaystyle{ n}\) takich prostoķątów. Gdyby wnętrza pewnych dwóch prostoķątów przecinałyby się, to trzeba byłoby użyć większej ilości takich prostoķątów. Moglibyśmy umieścić pierwszy prostokąt w innym kierunku w poprzek, ale wtedy umieszczając prostokąty wzdłuż średnicy leżącej prostopadle do boku tego prostokąta o długości jeden, podobnie musielibyśmy użyć co najmniej \(\displaystyle{ n}\) takich prostoķątów. A gdyby drugi użyty prostokąt miałby boki nierównoległe do boków pierwszego prostokąta, wtedy musielibyśmy użyć tym większej ilości prostoķątów. Wobec czego takie pokrycie jest niemożliwe.\(\displaystyle{ \square}\)

To żaden dowód ani nawet szkic - to tylko stwierdzenie "nie da się, bo się nie da".