Matematyka.pl

Udowodnić, że wielokąt o polu większym od \(\displaystyle{ n}\) można przesunąć tak, by w jego wnętrzu było co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) punktów kratowych.

Z wzoru Picka: \(p=w+{1\over2}b-1\). Jeśli \(p>n\) oraz zagwarantujemy \(b=0\), to \(w+0-1>n\) i teza jest prawdziwa.

Pozdrawiam

To nie ma nic wspólnego z zadaniem. We wzorze Picka chodzi o wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych. A do wielokąta w zadaniu i do ich przesunięć to twierdzenie może nie być stosowalne

To zadanie idzie łatwo z "polowej" wersji Dirichleta, a mianowicie:

Z: \(\displaystyle{ \sum_{}^{} |A_{i}|>n|X|}\)

Oraz: \(\displaystyle{ A_{i}}\) - pokrycia zbioru \(\displaystyle{ X}\)

T: Istnieje taki punkt \(\displaystyle{ x \in X}\), który należy przynajmniej do \(\displaystyle{ n+1}\) zbiorów \(\displaystyle{ A_{i}}\)

Teraz wystarczy podzielić wielokąt W na \(\displaystyle{ K_{j}}\) - kwadraty jednostkowe

I pokryć go zbiorami:

\(\displaystyle{ W= \sum_{}^{} W \cap K_{j}}\)

Potem zbiory :\(\displaystyle{ W \cap K_{j}}\) położyć na jednym kwadracie jednostkowym,

Oczywiście zgodnie z zadaniem:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} W \cap K_{j} > n \cdot 1}\)

Znacz, że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ x}\), który należy do przynajmniej \(\displaystyle{ n+1 }\) zbiorów:

\(\displaystyle{ W \cap K_{j}}\)

Potem te zbiorki rozsuniemy tak, żeby powstała figura \(\displaystyle{ W}\), i z twgo będziemy mieć \(\displaystyle{ n+1}\) klonów punktu \(\displaystyle{ x}\)

Identycznie umieszczonych w kwadratach jednostkowych, wystarczy teraz tak pociągnąć figurę \(\displaystyle{ W}\), żeby punkt \(\displaystyle{ x}\)

wraz z klonami znalazł się w lewym dolnym rogu kwadratu, który jest kratowy, cnd...

Nie wiem czy trzeba zakładać, że \(\displaystyle{ W}\) to wielokąt...