Matematyka.pl

Twierdzenie: Jeżeli w czworokącie wypukłym sumy długości boków przeciwległych są sobie równe, to istnieje okrąg wpisany w ten czworokąt.

Znalazłem taki oto dowód tego twierdzenia:
Rozważmy czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ AB+CD=BC+AD}\) i rozważmy okrąg styczny do boków \(\displaystyle{ AB,AD,CD}\). Taki okrąg istnieje, a jego środek jest jednoznacznie wyznaczony przez punkt przecięcia się dwusiecznych kątów \(\displaystyle{ BAD}\) i \(\displaystyle{ ADC}\). Odpowiednie punkty styczności nazwijmy \(\displaystyle{ P,R,S}\). Przypuśćmy, że bok \(\displaystyle{ BC}\) nie jest styczny do tego okręgu. Wtedy można byłoby z punktu \(\displaystyle{ B}\) poprowadzić styczną do danego okręgu która wyznaczyłaby na prostej \(\displaystyle{ CD}\) punkt \(\displaystyle{ E}\) różny od punktu \(\displaystyle{ C}\). Jeśli \(\displaystyle{ E}\) leży pomiędzy punktami \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\) (gdyby \(\displaystyle{ C}\) leżał pomiędzy \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\), dowód byłby analogiczny) to z warunku koniecznego dla czworokąta \(\displaystyle{ ABED}\) opisanego na okręgu mamy, że \(\displaystyle{ AB+ED=BE+AD}\). Oprócz tego mamy jeszcze założenie, że \(\displaystyle{ AB+CD=BC+AD}\). Po odjęciu stronami tych równań dostajemy \(\displaystyle{ CD-ED=BC-BE}\), a stąd \(\displaystyle{ EC=BC-BE}\), więc \(\displaystyle{ EC+BE=BC}\), a to jest sprzeczność z nierównością trójkąta co dowodzi, że przypuszczenie, że \(\displaystyle{ BC}\) nie jest styczny do okręgu jest fałszywe, co dowodzi danego twierdzenia.

Mam wątpliwości co do tego dowodu. Moje pytania są takie:
1) Co jeśli \(\displaystyle{ B}\) leży między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\)?
2) Skąd wiadomo, że punkt \(\displaystyle{ E}\) istnieje?

Może mi to ktoś wyjaśnić?

może jakiś rysunek ?

No mogę wkleić jakiś rysunek, ale czy to zmienia postać rzeczy?

A jeśli \(\displaystyle{ B=P}\) ?

No właśnie nie wiem za bardzo. Próbuję tak: Gdyby \(\displaystyle{ B=P}\), to z twierdzenia o odcinkach stycznych i założenia wynikałoby, że \(\displaystyle{ CB=CR}\), a tak chyba być nie może, gdyż jeśli punkt wspólny odcinka \(\displaystyle{ CB}\) i okręgu leżący pomiędzy \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) nazwiemy \(\displaystyle{ S}\), to z twierdzenia o stycznej i siecznej wynikałoby, że \(\displaystyle{ CS=CR}\), a chyba jasne jest, że \(\displaystyle{ CS}\) jest krótsze od \(\displaystyle{ CR}\). Dobrze?

a jeśli też \(\displaystyle{ C= R}\) ?

No to wtedy \(\displaystyle{ BC=0}\), a tak być nie może bo to nie byłby czworokąt. No ok, ale co z tego wynika?

Dodano po 3 minutach 10 sekundach:
Chociaż jak tak teraz myślę, to wydaje mi się, że z tego wynika, że \(\displaystyle{ B}\) nie może leżeć pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\), bo wtedy suma długości \(\displaystyle{ AB+CD}\) będzie za mała. Dobrze mówię?

Dodano po 12 minutach 14 sekundach:
Chociaż mam pewien pomysł. Jeśli \(\displaystyle{ B}\) leżałoby między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\), a \(\displaystyle{ C}\) tak jak na tym rysunku, to \(\displaystyle{ AB<AS,DS=DR,CR<CB}\), zatem na pewno nie może być \(\displaystyle{ AB+CR+DR=AS+DS+CB}\), czyli w tym przypadku założenie nie jest spełnione. Dobrze?

Dodano po 16 godzinach 14 minutach 3 sekundach:
Podbijam pytanie.

Dodano po 8 godzinach 34 minutach 53 sekundach:
Może mi ktoś z tym pomóc albo napisać jak to porządnie się powinno uzasadnić?

Dodano po 17 godzinach 55 minutach 50 sekundach:
Mol książkowy, możesz mi powiedzieć, czy dobrze to napisałem?

Dodano po 4 godzinach 24 minutach 35 sekundach:
No dobra, to zakładając, że to jest dobrze, to jak uzasadnić, że punkt \(\displaystyle{ E}\) istnieje?