Matematyka.pl

Dzień dobry

Taras zbudowany jest z trapezu równoramiennego (dolna część) i fragmentu koła (górna część). W takim razie pole tarasu jest równe sumie pól obu tych figur. Zacznijmy od trudniejszej części, czyli fragmentu koła, i narysujmy go razem z całym kołem. Sytuacja wygląda następująco: Zakreskowane pole to szukany fragment, a dodatkowo oznaczam poszczególne punkty literami \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ P}\) (jak na rysunku) oraz \(\displaystyle{ S}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) to środek koła. Następnie rysuję odcinki \(\displaystyle{ \overline{SA}}\) i \(\displaystyle{ \overline{SB}}\), które mają długość \(\displaystyle{ R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promień tego koła, oraz odcinek \(\displaystyle{ \overline{SP}}\), który jest prostopadły do odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) i ma długość \(\displaystyle{ h}\). Dodatkowo zauważmy, że punkt \(\displaystyle{ P}\) leży w połowie odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) i dzieli go na pół, więc \(\displaystyle{ |PA|=|PB|=\frac{1}{2}|AB|=\frac{1}{2}\cdot5,2=2,6}\). Otrzymujemy następujący rysunek: Pole szukanego fragmentu \(\displaystyle{ P_f}\) to różnica pól wycinka koła \(\displaystyle{ P_w}\) zbudowanego na kącie \(\displaystyle{ \measuredangle ASB}\) i pola trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABS}\) \(\displaystyle{ P_{ABC}}\). Czyli:
\(\displaystyle{ P_f=P_w-P_{ABS}=\frac{|\measuredangle ASB|}{360^{\circ}}\cdot\pi R^2-\frac{1}{2}\cdot5,2h=\frac{|\measuredangle ASB|}{360^{\circ}}\cdot\pi R^2-2,6h}\)
Teraz wystarczy zauważyć, że odcinek \(\displaystyle{ \overline{SC}}\) to promień koła, więc \(\displaystyle{ |SC|=h+1,25=R}\), a także, że powstały trójkąt \(\displaystyle{ \Delta SPB}\) jest prostokątny i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy \(\displaystyle{ (2,6)^2+h^2=R^2}\). W takim razie powstaje układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} h+1,25=R \\ (2,6)^2+h^2=R^2 \end{cases}}\)
Należy go rozwiązać
\(\displaystyle{ \begin{cases} h+1,25=R \\ (2,6)^2+h^2=R^2 \end{cases} \\ \begin{cases} h+1,25=R \\ 6,76+h^2=(h+1,25)^2 \end{cases} \\ \begin{cases} h+1,25=R \\ 6,76+h^2=h^2+2,5h+1,5625 \end{cases} \\ \begin{cases} h+1,25=R \\ 2,5h=5,1975 \end{cases} \\ \begin{cases} h+1,25=R \\ h=2,079 \end{cases} \\ \begin{cases} R=3,329 \\ h=2,079 \end{cases} }\)
Brakuje nam jeszcze wartości kąta \(\displaystyle{ \measuredangle ASB}\). Otrzymamy ją dzięki informacji, że długość łuku opartego na kącie \(\displaystyle{ \measuredangle ASB}\) wynosi 6,5, ponieważ mamy dzięki temu równanie:
\(\displaystyle{ \frac{|\measuredangle ASB|}{360^{\circ}}\cdot2\pi R=6,5 }\)
Aby uprościć obliczenia zauważmy, że aby otrzymać \(\displaystyle{ P_w}\) wystarczy wymnożyć równanie przez \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\), zatem
\(\displaystyle{ \frac{|\measuredangle ASB|}{360^{\circ}}\cdot\pi R^2=6,5\cdot\frac{R}{2} }\)
I po podstawieniu \(\displaystyle{ R}\):
\(\displaystyle{ P_w=10,81925 }\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ P_f=10,81925-2,6\cdot2,079=5,41385}\)
Pozostaje jeszcze policzyć pole trapezu. Zacznijmy od rysunku: Korzystając z własności trapezu róworamiennego mamy, że
\(\displaystyle{ x=\frac{5,2-3}{2}=\frac{2,2}{2}={1,1}}\)
A następnie z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ x^2+H^2=(2,4)^2 \\ H^2=(2,4)^2-(1,1)^2 \\ H^2=5,76-1,21 \\ H^2=4,55 \\ H \approx 2,13}\)
Tak więc pole tego trapezu wynosi \(\displaystyle{ P_t=\frac{3+5,2}{2}\cdot2,13=4,1\cdot2,13=8,733}\).
I w końcu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_f=P_w+P_t \approx 14,14 m^2}\)

P.S. Proszę o samodzielną weryfikację obliczeń

Chomik 28 - Bardzo dziękuję i pozdrawiam