Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie wielokątem (nawet wkłęsłym).
Wykażemy, że można taki wielokąt rozciąć liniami prostymi na skończenie wiele części, a następnie można z tych części zbudować kwadrat o tym samym polu co pole naszego danego wielokąta \(\displaystyle{ W}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Dzielimy najpierw wielokąt na \(\displaystyle{ n}\) trójkątów.
Pokażemy teraz, że dowolny taki trójkąt można podzielić na części, a następnie można z tych części zbudować prostokąt o tym samym polu co pole tego trójkąta.
Jeśli ten trójkąt jest ostrokątny, to wpierw w połowie wysokości opuszczonej na podstawę prowadzimy prostą równoległą do tej podstawy poza ten trójkąt, tak, aby odcinek leżący poza tym trójkątem miał taką samą długość co odcinek leżący wewnątrz tego trójkąta siekający ten trójkąt; zobacz poniższą ilustrację: \(\displaystyle{ \\}\)
Następnie z początkowego punktu takiej prostej prowadzimy odcinek prostopadły do niej poprowadzony w kierunku podstawy aż do punktu przecięcia z nią. Następnie z prawego wierzchołka podstawy trójkąta prowadzimy przekątną w czworokącie leżącym poza tym trójkątem. Wykazujemy, że trójkąt leżący wewnątrz naszego trójkąta nad poprowadzoną sieczną jest przystający do trójkąta leżącego po lewej stronie przekątnej poprowadzonej w tym czworokącie leżącym poza trójkątem, a pozostały mały trójkącik leżący wewnątrz tego naszego trójkąta jest przystający do trójkąta leżącego po prawej stronie przekątnej rozważanego czworokąta. Istotnie, sieczna naszego trójkąta z założenia ma tą samą długość co jej przedłużenie poza trójkątem, kąty wierzchołkowe są równe, a ponieważ taką sieczną poprowadziliśmy w połowie wysokości całego trójkąta, więc dzieli ona prawe ramię trójkąta na dwie połowy. A zatem, te dwa trójkąty są przystające. A mały trójkącik leżący wewnątrz naszego trójkąta jest przystający do trójkąta leżącego po prawej stronie przekątnej naszego czworokąta, gdyż ponieważ wiemy już, że poprzednio rozważane trójkąty są przystające, a więc w szczególności mają równe odpowiednie kąty, a zatem jeśli kąt pomiędzy naszą sieczną a lewym ramieniem trójkąta leżącego nad tą sieczną oznaczymy przez \(\displaystyle{ \alpha}\), to również kąt w trójkącie będącym lewą częścią naszego czworokąta, pomiędzy tą przekątną a przedłużeniem naszej siecznej jest również równy \(\displaystyle{ \alpha}\), i kąt w trójkącie, będącym prawą częścią naszego czworokąta, między tą przekątna a przedłużeniem podstawy naszego trójkąta jest również równy \(\displaystyle{ \alpha}\). A w tym małym trójkącie leżącym wewnątrz calego trójkąta, ponieważ kąt na półprostej wynosi \(\displaystyle{ 180 ^{\circ}}\), więc kąt między wysokością a ramieniem jest równy: \(\displaystyle{ 180 ^{\circ} - \alpha - 90 ^{\circ}= 90 ^{\circ} - \alpha}\). A zatem te dwa trójkąty są podobne, ale mają one również taką samą wysokość, a więc te trójkąty są podobne w skali \(\displaystyle{ 1:1}\), a więc są przystające. A zatem cały trójkąt jest równoważny przez rozkład narysowanemu prostokątowi.
Jeśli nasz trójkąt jest prostokątny, to podobnie w połowie wysokości prowadzimy prostą równoległą do podstawy, i odbijamy trójkąt leżący nad tą sieczną względem tego punktu przecięcia tej siecznej z przeciwprostokątną naszego trójkąta, zobacz poniższą ilustrację: \(\displaystyle{ \\}\)
- Trójkąt prostokątny równoważny przez rozkład, prostokątowi.jpg (11.2 KiB) Przejrzano 88 razy
A jeśli nasz trójkąt jest rozwartokątny, to rozumujemy w sposób analogiczny jak dla trójkątów ostrokątnych.
A zatem, w każdym przypadku, trójkąt jest równoważny przez rozkład pewnemu prostokątowi.
Niech \(\displaystyle{ P\left( W\right)>0}\) oznacza pole naszego wielokąta \(\displaystyle{ W}\). Dzielimy najpierw nasz wielokąt na \(\displaystyle{ n}\) trójkątów, a potem, na mocy powyższego dowodu, przekształcamy każdy taki trójkąt na odpowiedni mu prostokąt o tym samym polu. Wtedy, dla dowolnego takiego prostokąta \(\displaystyle{ S}\), o bokach długości \(\displaystyle{ a_S}\) i \(\displaystyle{ b_S}\), mamy wtedy: \(\displaystyle{ a_S \le \sqrt{P\left( W\right) }}\) lub \(\displaystyle{ b _{S} \le \sqrt{P\left( W\right) };}\) bo gdyby, dla pewnego prostokąta \(\displaystyle{ S,}\) byłoby: \(\displaystyle{ a_S> \sqrt{P\left( W\right) }}\) i \(\displaystyle{ b_S> \sqrt{P\left( W\right) }}\), to \(\displaystyle{ P\left( S\right)= a_S \cdot b_S> \sqrt{P\left( W\right) } \cdot \sqrt{P\left( W\right) }= P\left( W\right)}\), czyli \(\displaystyle{ P\left( S\right) >P\left( W\right)}\), ale taki prostokąt jest równoważny przez rozkład pewnemu trójkątowi \(\displaystyle{ T_S \subset W}\), a zatem \(\displaystyle{ P\left( S\right)= P\left( T_S\right) \le P\left( W\right)}\)- sprzeczność.
A zatem, dla prostokąta \(\displaystyle{ S,}\) mamy zawsze: \(\displaystyle{ a_S \le \sqrt{P\left( W\right) }}\) lub \(\displaystyle{ b _{S} \le \sqrt{P\left( W\right) }.}\)
Układamy teraz stos pionowy bądź układamy stos poziomy takich prostokątów o boku (w oby dwu przypadkach): \(\displaystyle{ \sqrt{P\left( W\right) }}\). Układamy stos pionowy, jeśli poziome boki takich prostokątów są większe od \(\displaystyle{ \sqrt{P\left( W\right) }}\) (co najmniej jeden z boków każdego takiego prostokąta jest nie większy od tej wielkości, ale drugi taki bok może być większy od tego pierwiastka) odcinając pionowym cięciem takie prostokąty, a następnie obracając je o \(\displaystyle{ 90 ^{\circ}}\) i układamy je w pionowy stos. Jeśli zaś pionowe boki takich prostokątów są większe od pierwiastka kwadratowego z pola naszego wielokąta, to w podobny sposób układamy stos poziomy.
Otrzymamy w ten sposób prostokąt (w poniższej sytuacji: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ c:=\frac{P\left( W\right) }{ \sqrt{P\left( W\right) } } \cdot \frac{ \sqrt{P\left( W\right) } }{ \sqrt{P\left( W\right) } }= \frac{P\left( W\right) \cdot \sqrt{P\left( W\right) } }{P\left( W\right) } = \sqrt{P\left( W\right) },}\)
a więc jest to kwadrat o boku \(\displaystyle{ \sqrt{P\left( W\right) }.}\)
Jeśli zaś dla niektórych prostokątów bok poziomy jest większy od tego pierwiastka z pola, a dla innych prostokątów bok pionowy jest większy od tego pierwiastka, to wszystkie takie prostokąty o boku pionowym większym od tego pierwiastka możemy obrócić w całości o \(\displaystyle{ 90 ^{\circ}}\) otrzymując prostokąty o bokach poziomych większych od tego pierwiastka; a zatem, ponieważ w naszym zadaniu jest mowa jedynie o łącznym polu figur, a nie o obrotach figur, więc możemy zastosować tutaj pierwszy przypadek.
Jeszcze pozostaje tutaj wątpliwość gdy obydwa boki pewnego prostokąta są nie większe od tego pierwiastka. Wtedy, ponieważ mamy tutaj skończoną ilość takich trójkątów, a więc mamy tutaj również skończoną ilość długości prostokątów (równoważnym przez rozkład odpowiednim trójkątom), a zatem jest wśród tych długości wielkość najmniejsza. Niech \(\displaystyle{ S _{0}}\) będzie prostokątem o najmniejszej takiej długości \(\displaystyle{ a_S}\). Niech \(\displaystyle{ b_S}\) będzie długością drugiego boku takiego prostokąta. Wtedy \(\displaystyle{ a_S \le b_S \hbox { i } a_S< \sqrt{P\left( W\right) }.}\) Wtedy w podobny sposób odcinając kwadrat o wymiarach \(\displaystyle{ a_s \times a_s}\), a pozostałą część takiego prostokąta obracając o \(\displaystyle{ 90 ^{\circ},}\) i układając obok taki prostokąt po prawej, (do długości \(\displaystyle{ \sqrt{P\left( W\right)}}\) ( itd. dla kolejnych prostokątów), a potem układamy prostokąty w rzędzie powyżej}, ponieważ każdy taki prostokąt ma większe wymiary od początkowego prostokąta, i wszystkich ich jest skończona ilość, więc w ten sposób ułożymy stos pionowy o pierwszym boku równym wartości tego pierwiastka. Podobnie, w drugim przypadku, ułożymy stos poziomy o drugim boku równym wartości tego pierwiastka.
Ponieważ łączna suma pól wyjściowych trójkątów jest równa polu tego danego wielokąta (które to trójkąty są równoważne przez rozkład odpowiednim im prostokątom), to również łączna suma pól prostokątów jest równa polu tego wielokąta, i tworzą one prostokąt (patrz poprzedni komentarz) o obydwu bokach równych \(\displaystyle{ \sqrt{P\left( W\right) },}\) a więc jest to kwadrat o boku \(\displaystyle{ \sqrt{P\left( W\right) }}\).
A więc wielokąt \(\displaystyle{ W}\) ma takie samo pole jak kwadrat o boku \(\displaystyle{ \sqrt{P\left( W\right) }. \square}\)
Podobno, można to zastosować, aby udowodnić, że koło o dodatnim polu można rozciąć na skończoną ilość części, a następnie złożyć z tych części kwadrat o tym samym polu. Jednak dowodu tego niesłychanego faktu Wam nie przedstawię, gdyż nie wgłębiałem się w spiralę Archimedesa i twierdzenie sinusów...