Matematyka.pl

Mam takie zadanie

1.119 Obwód trapezu jest równy 30cm, a odcinek łączący środki przekątnych trapezu ma długości 1,5cm. Wiedząc, że w ten trapez można wpisać okrąg, oblicz długości jego podstaw.

Albo nie znam jakiś twierdzeń, ale nie wiem jak dojść do długości podstaw.
Wiem w sumie tylko, że sumy przeciwległych boków są równe. Więc ramiona będą miały 15cm to tyle.

odcinek łączący środki przekątnych trapezu

Wzór na ten odcinek to \(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\).

Dowód: Ogólnie znany wzór na odcinek łączący środki ramion to: \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\). Składa on się z odcinka łączącego środki przekątnych jak i dwóch równych sobie odcinków co widać na rysunku. Zauważamy tam trójkąty podobne, zatem tamte odcinki są równe \(\displaystyle{ \frac{b}{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}-2 \cdot \frac{b}{2}= \frac{a-b}{2}}\).

Skąd wiesz, że składa się z odcinka łączącego środki ramion i dwóch równych sobie odcinków. Tzn. ja wiem, że widać, ale w matematyce argument "widać" ma raczej małą moc.

Jakie trójkąty podobne?

Niech \(\displaystyle{ 2|AK|=|AD|}\) oraz \(\displaystyle{ 2|AM|=|AC|}\), wobec tego \(\displaystyle{ \Delta AKM \sim \Delta ADC}\), stąd \(\displaystyle{ KM \ || \ CD}\), analogicznie to samo z drugiej strony \(\displaystyle{ NL \ || \ CD}\), zatem jeżeli \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są środkami ramion oraz mamy równoległości wspomniane wyżej wnioskujemy, że punkty \(\displaystyle{ K,M,N,L}\) są współliniowe.

Ok, już wiem skąd to się wzięło, ale teraz jak obliczyć z tego wzoru, przecież mam tylko obwód czyli \(\displaystyle{ a+b}\).

W trapez można wpisać okrąg, jesli sumy jego dwóch przeciwnych boków są równe, czyli:
suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion.
Musisz zastosować układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a-b}{2}=1.5 \\ a+b= \frac{30}{2} \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, b}\) to podstawy trapezu.
Pozdrawiam!

No nareszcie. Dzięki bardzo stawiam pomógł.