Czworokąt o najwiekszym polu

adambak · Post autor: **adambak** » 23 cze 2011, o 00:06

Mam taki problem: dane są cztery liczby \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\). Załóżmy, że z boków o tych długościach, da się skonstruować czworokąt. Jakie będzie pole największego takiego czworokąta?

Ja strzeliłem, że musi to być czworokąt na którym da się opisać okrąg. Wygląda na to że dobrze.. No, a wtedy wzór Brahmagupty i po sprawie.. Ale czy uzasadnienie tego jest proste? Nie potrafię tego zrobić i nie wiem czy to moja głupota, zaćmienie umysłu o tej porze, czy po prostu nie jest to takie oczywiste?

silicium2002 · Post autor: **silicium2002** » 23 cze 2011, o 11:58

Skoro rzucasz już ostrym narzędziem pt. wzór Brahmagupty - to wiedz, że właściwie nie tyczy się tylko czworokątów opisanych na okręgu. Wzór jest prawdziwy dla dowolnych czworokątów - przy czym należy odjąć jeszcze pod wyrażeniem podpierwiastkowym iloczyn wszystkich boków i cosinusa połowy sumy dwóch przeciwległych kątów. No i łatwo zauważyć że pole będzie największe kiedy ten iloczyn będzie najmniejszy więc kiedy \(\displaystyle{ cos \alpha = 0}\) no a to zachodzi dla kąta\(\displaystyle{ 90}\) Czyli suma przeciwległych kątów jest 180 -> czyli czworokąt opisany na okręgu.

adambak · Post autor: **adambak** » 23 cze 2011, o 14:46

uchh.. no to troszkę dałem plamę.. racja, super wytłumaczone, dzięki

aniu_ta · Post autor: **aniu_ta** » 23 cze 2011, o 14:57

silicium2002, czyli czworokąt wpisany w okrąg, a nie opisany na okręgu.

adambak · Post autor: **adambak** » 23 cze 2011, o 15:42

oj, wiadomo o co chodzi przecież..

silicium2002 · Post autor: **silicium2002** » 23 cze 2011, o 16:39

adambak pisze:uchh.. no to troszkę dałem plamę.. racja, super wytłumaczone, dzięki

Tak tak oczywiście

Jacek_Karwatka · Post autor: **Jacek_Karwatka** » 6 sty 2024, o 17:08

silicium2002 pisze: ↑23 cze 2011, o 11:58 Skoro rzucasz już ostrym narzędziem pt. wzór Brahmagupty - to wiedz, że właściwie nie tyczy się tylko czworokątów opisanych na okręgu. Wzór jest prawdziwy dla dowolnych czworokątów - przy czym należy odjąć jeszcze pod wyrażeniem podpierwiastkowym iloczyn wszystkich boków i cosinusa połowy sumy dwóch przeciwległych kątów. No i łatwo zauważyć że pole będzie największe kiedy ten iloczyn będzie najmniejszy więc kiedy \(\displaystyle{ cos \alpha = 0}\) no a to zachodzi dla kąta\(\displaystyle{ 90}\) Czyli suma przeciwległych kątów jest 180 -> czyli czworokąt opisany na okręgu.

Jedna uwaga: przy czym należy odjąć jeszcze pod wyrażeniem podpierwiastkowym iloczyn wszystkich boków i kwadrat cosinusa połowy sumy dwóch przeciwległych kątów.

Matematyka.pl