szukanie zaawansowane

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia

Posługując się trójkątem Pascala jesteśmy w stanie szybko wyznaczyć wzory skróconego mnożenia:


\begin{tabular}{lc} 
\\(a\pm b)^0  = 1 & 1 \\ \\ 
\\(a\pm b)^1 = a \pm b& 1 \hspace{2} 1 \\ \\ 
\\(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 & 1 \hspace{2} 2 \hspace{2} 1 \\ \\
\\(a\pm b)^3 = a^3  \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm  b^3 & 1 \hspace{2} 3 \hspace{2} 3 \hspace{2} 1 \\ \\
\\(a\pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4 & 1 \hspace{2} 4 \hspace{2} 6 \hspace{2} 4 \hspace{2} 1 \\ \\ ...................................... & ............................
\end{tabular}



Inny sposób to wykorzystanie wzoru Newtona i tak, n-ta potęga sumy dwóch wyrażeń ma postać:

(a+b)^n = {n\choose 0}a^n +{n\choose 1}a^{n-1}b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\dots+{n-1}{n\choose {n-1}}ab^{n-1} +{n\choose n}b^n\\\\
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} a^{n-k}b^k \hspace{5}a,b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}  \wedge ab \neq 0


n-ta potęga różnicy dwóch wyrażeń ma postać:

(a+b)^n = (-1)^0{n\choose 0}a^n + (-1)^1{n\choose 1}a^{n-1}b+(-1)^2{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\dots+ (-1)^{n-1}{n\choose {n-1}}ab^{n-1} + (-1)^n{n\choose n}b^n \\ \\
(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k {n\choose k} a^{n-k}b^k \hspace{5}a,b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}  \wedge ab \neq 0



Krótkie kompendium

Kwadrat sumy/różnicy dwóch wyrażeń:

(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2


Kwadrat sumy trzech wyrażeń:

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab +2ac+2bc


Różnica kwadratów:

a^2-b^2 = (a+b)(a-b)


Sześcian sumy/różnicy dwóch wyrażeń:

(a\pm b)^3 = a^3  \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm  b^3


Różnica sześcianów dwóch wyrażeń:

a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)


Różnica sześcianów n-tych potęg (n  \ge 1  \wedge  n \in \mathbb{C}):

a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2+\dots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1})


Suma sześcianów n-tych potęg (n  \ge 1  \wedge  n \in \mathbb{C}  \wedge  n \text{ nieparzyste}):

a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2-\dots + a^2b^{n-3} - ab^{n-2} + b^{n-1})
+ jeśli potęga przy b jest parzysta, w przeciwnym wypadku -

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl