Dokładność pomiaru-metoda różniczki zupełnej

sasha_fierce6 · Post autor: **sasha_fierce6** » 6 mar 2016, o 17:10

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć na przykładzie, jak obliczyć dokładność pomiaru metodą różniczki zupełnej?
Mój kąt padania to \(\displaystyle{ 5 ^{o}}\) , załamania \(\displaystyle{ 2,5 ^{o}}\). Niepewność wyznaczenia ilorazu \(\displaystyle{ \frac{sin \alpha }{sin \beta }}\) wyszła mi 1,977 i teraz ze wzoru \(\displaystyle{ \Delta \frac{sin \alpha }{sin \beta }}\) muszę wyliczyć dokładność, nie mam jednak pojęcia, jak to zrobić.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 6 mar 2016, o 18:15

sasha_fierce6 pisze:Niepewność wyznaczenia ilorazu \(\displaystyle{ \frac{sin \alpha }{sin \beta }}\) wyszła mi 1,977

Żadna niepewność, tylko współczynnik załamania światła.

Z jaką dokładnością zostały zmierzone kąty?

Generalnie jest tak. Gdy \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\) to:

\(\displaystyle{ \Delta z=\left|\frac{\partial z}{\partial x}\right|\Delta x+\left|\frac{\partial z}{\partial y}\right|\Delta y}\)

sasha_fierce6 · Post autor: **sasha_fierce6** » 6 mar 2016, o 18:26

W instrukcji użyte jest słowo "niepewność".
Kąty zostały zmierzone z dokładnością jednego stopnia.

korki_fizyka · Post autor: **korki_fizyka** » 6 mar 2016, o 19:51

Zamień stopnie na radiany i podstaw do wzoru podanego wyżej.

sasha_fierce6 · Post autor: **sasha_fierce6** » 6 mar 2016, o 20:19

Rzecz w tym, że nie potrafię tego zrobić, nie wiem, co i jak mam podstawić, gdybym wiedziała, to nie musiałabym prosić o pomoc na forum.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 6 mar 2016, o 23:21

A co to za ćwiczenie? Opisz w skrócie: cel, stanowisko badawcze, przebieg.
Dlaczego zmierzone kąty są takie małe?
Jeżeli kąty były mierzone z dokładnością do \(\displaystyle{ 1^\circ}\), to skąd wzięła się wartość \(\displaystyle{ 2,5^\circ}\).
Czego nie wiesz? Nie wiesz, co to są pochodne?

sasha_fierce6 · Post autor: **sasha_fierce6** » 6 mar 2016, o 23:37

Celem było zbadanie zjawiska załamania światła i obserwacja biegu promienia. Generalnie ćwiczenie polegało na zamienianie soczewek i spisywaniu kątów.
Są małe, bo od \(\displaystyle{ 5^{o}}\) trzeba było zacząć i zwiększać co \(\displaystyle{ 5^{o}}\) aż do \(\displaystyle{ 85^{o}}\) (wtedy kąt załamania wynosi \(\displaystyle{ 40^{o}}\)).
Z nieprzeczytania instrukcji, najpierw zmierzyłam, potem przeczytałam, że mają być z dokładnością do \(\displaystyle{ 1^{o}}\), prowadzący powiedział, że to żaden problem i może tak zostać, a nawet lepiej, bo wyniki są dokładniejsze.
Nie wiem z czego mam tu policzyć pochodną, nie rozumiem tego wzoru, nie wiem, co mam podstawić, zwyczajnie nie umiem tego policzyć.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 7 mar 2016, o 00:05

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo_Snelliusa

:

\(\displaystyle{ n_{21}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \alpha}\) – kąt padania (od strony ośrodka 1),
\(\displaystyle{ \beta}\) – kąt załamania (po stronie ośrodka 2).

Gdy mamy funkcję wielu (tu dwóch) zmiennych: \(\displaystyle{ f(x,y)}\), to \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}}\) są pochodnymi cząstkowymi tej funkcji względem zmiennych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}f(x)}\) (pochodna względem \(\displaystyle{ x}\), a \(\displaystyle{ y}\) traktujemy jako parametr) i podobnie dla \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}}\).

Więc mamy:

\(\displaystyle{ n_{21}(\alpha,\beta)=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}}\)

i trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ \frac{\partial n_{21}}{\partial \alpha}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial n_{21}}{\partial \beta}}\) (pochodna sinusa i jego odwrotności), wyrazić \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \Delta\alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \Delta\beta}\) w radianach, podstawić i obliczyć wartość niepewności pomiaru \(\displaystyle{ n_{21}}\).

sasha_fierce6 · Post autor: **sasha_fierce6** » 7 mar 2016, o 00:27

Czyli tak, moje \(\displaystyle{ n _{21}}\) wynosi 1,977, pochodna sin to cos, czyli mam policzyć \(\displaystyle{ cos \ 5 ^{o}}\) i \(\displaystyle{ cos \ 2,5_{o}}\) i to przez siebie podzielić?
Zamieniając stopnie na radiany, moje \(\displaystyle{ 5 ^{o}}\) to \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{36}}\), a \(\displaystyle{ 2,5 ^{o}}\) to \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{72}}\) i mam to podstawić do... no właśnie, do czego mam to podstawić, do pochodnej?

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 7 mar 2016, o 01:06

Nie! Drugą zmienną traktujemy jako parametr.

\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial\alpha}\:\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\cos\alpha}{\sin\beta} \\
\frac{\partial}{\partial\beta}\:\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta}{\sin^2\beta}}\)

Podstawić do wzoru:

\(\displaystyle{ \Delta n=\left|\frac{\partial}{\partial\alpha}\:\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right|\Delta\alpha+\left|\frac{\partial}{\partial\beta}\:\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right|\Delta\beta}\)