Matematyka.pl

Wyboczenie pręta

Jeżeli wystarczy policzenie pręta na wyboczenie przy pomocy wzoru Eulera (w konstrukcji maszyn sprawdza się jeszcze smukłość i ew. używa wzoru Tetmajera-Jasińskiego) to wzór będzie miał tu postać:

\(\displaystyle{ P_{kr}=\frac{4 \pi^{2}E I_{min}}{L^{2}}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ E}\) - moduł Younga, \(\displaystyle{ I_{min}}\) - najmniejszy moment bezwładności przekroju (oczywiście jego wyznaczenie będzie tu stanowiło pewne wyzwanie, ale wystarczy rozbić przekrój na 2 trójkąty i policzyć ich momenty bezwładności a następnie zsumować uwzględniając poprawkę Steinera).

Potrzebuje smukłość, smukłość graniczna, Pkr, długość wyboczenia,Moment bezwładnosci x.y minimalny moment bezwładności

1.Zakładamy, że zachodzi zjawisko wyboczenia sprężystego, bo wtedy możemy korzystać z wzoru Eulera - XVIII wiek!
2.Określamy parametry podanego przekroju pręta
2.1.Pole przekroju- \(\displaystyle{ S=2 ( a \cdot \frac{b}{2} }\), (1)
2.2 Najmniejszy moment bezwładności przekroju \(\displaystyle{ J}\) wzgl. osi centralnej \(\displaystyle{ y _{o} }\) przekroju złożonego z dwóch trójkątów
\(\displaystyle{ J _{yo} =J _{ymin} = 2 \cdot \frac{a ^{3} ( \frac{b}{2})}{48} }\), (3)
/Oś centralna całej figury pokrywa się z osiami poszczególnych trójkątów, stąd nie ma potrzeby stosowania tw. Steinera/
2.3 Długość zredukowana \(\displaystyle{ l _{zr} =0,7}\) -przegub i utwierdzenie, (4)
3.Dobieramy materiał pręta-\(\displaystyle{ R _{H}, E }\)- stal węglowa zwykłej jakości lub stal węglowa wyższej jakości.
......................................
4.Chcąc wykorzystać przepis Eulera, zakładamy i pokazujemy, że zachodzi utrata stateczności pręta -wyboczenie sprężyste.
/W parametrach wytrzymałościowych dobranego materiału na pręt, określamy granicę proporcjonalności \(\displaystyle{ R _{H} }\)-stosowalność prawa Hooke'a i moduł sprężystości Younga- \(\displaystyle{ E}\)/
5.Warunek stosowalności wzoru Eulera
\(\displaystyle{ \Lambda \ge \sqrt{ \frac{ \pi ^{2} \cdot E }{R _{H} } }=\Lambda _{gr} }\) ,(5)
/Smukłość graniczna \(\displaystyle{ \Lambda _{gr} }\) dla stali konstrukcyjnych węglowych zwykłej jakości jest równa \(\displaystyle{ \approx 100.}\)
\(\displaystyle{ \Lambda}\)- to smukłość obliczeniowa:
\(\displaystyle{ \Lambda= \frac{l _{zr} }{ \sqrt{ \frac{J _{min} }{S} } } }\), (6)
........................
Jeżeli warunek (5) nie spełniony to nie zachodzi wyboczenie sprężyste, dla tych wymiarów pręta i tego rodzaju gatunku stali.
Jeżeli spełniony możemy określić siłę krytyczną \(\displaystyle{ P _{kr} }\) z wzoru Eulera i porównać z obciążeniem podanym tj. \(\displaystyle{ P=19\quad kN}\)