Matematyka.pl

Tensor bezwładności układu mas ma wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 }\). Odpowiadają im wektory własne \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3 }\) , które są parami prostopadłe oraz \(\displaystyle{ \left| v_1\right|=1, \left| v_2\right|=3, \left| v_3\right|=6 }\) . Oblicz moment bezwładności danego układu mas względej prostej równoległej do wektora \(\displaystyle{ v_2}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,0) }\). Uzasadnić odpowiedź wykorzystując dany tensor T.

Z treści zadania wynika, że że mamy dane tylko długości wektorów wartości własnych \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}} }\) .

Do konstrukcji tensora bezwładności brak danych o układzie mas: \(\displaystyle{ m_{1}, m_{2}, m_{3} }\). Jakie to masy (jednakowe ?, różne? ) Jakie są współrzędne ich położenia ?

Tylko tyle jest w treści zadania, to chyba zadanie z fizyki, a ja jestem na czystej matematyce. Wykładowca jest z wydziału fizyki i niestety trzeba się męczyć z takimi zadaniami, gdzie nie znamy teorii ani wzorów na to...

Jeśli są potrzebne w zadaniu te dane, to przyjmijmy ogólne symboliczne \(\displaystyle{ m_1, m_2, m_3}\) czy co tam potrzeba.

janusz47 pisze: ↑27 wrz 2024, o 16:07Do konstrukcji tensora bezwładności brak danych o układzie mas: \(\displaystyle{ m_{1}, m_{2}, m_{3} }\). Jakie to masy (jednakowe ?, różne? ) Jakie są współrzędne ich położenia ?

Ale po co chcesz go konstruować? W treści zadania jest on dany:

aneta909811 pisze: ↑26 wrz 2024, o 14:45Uzasadnić odpowiedź wykorzystując dany tensor T.

JK

Jest tylko dana jego litera \(\displaystyle{ T. }\)

Żeby można mówić, że tensor bezwładności \(\displaystyle{ T }\) jest dany dla układu trzech mas - musimy wiedzieć czy masy \(\displaystyle{ m_{1}, m_{2}, m_{3} }\) są jednakowe, czy różne oraz znać współrzędne ich położenia.

W zależności od tych danych są różne jego postaci.

Z położenia wiadomo tylko, że są parami prostopadłe.

Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

Dodano po 2 dniach 3 godzinach 20 minutach9 sekundach:

Zadanie - przykład

Dany jest układ trzech jednakowych mas punktowych \(\displaystyle{ (m, m, m) }\) umieszczonych w punktach o współrzędnych: \(\displaystyle{ (a,0,0), \ \ (0, a, 2a), \ \ (0,2a, a)}\) Proszę wyznaczyć moment bezwładności układu.

Tensor bezwładności układu trzech punktów masowych:

\(\displaystyle{ T = \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & T_{13}\\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} m(y^2 + z^2) & -mxy & -mxz \\ -mxy & m(x^2+z^2) & -myz) \\ -mxz & -yzm & m (x^2 +y^2) \end {bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ T_{11}= m(y^2+z^2) = m[ (0,a,2a)^2 + (0,2a,a)^2] = m[(0,a^2, 4a^2)+ (0,4a^2,a^2)] = m(0 + 5a^2 +5a^2) = 10ma^2.}\)

\(\displaystyle{ T_{12}= -m x y = -m[ (a,0,0)\cdot (0,a,2a) = -m (0,0,0) = 0 .}\)

\(\displaystyle{ T_{13}= -m x z = -m[ (a,0,0)\cdot (0,2a,a) = -m (0,0,0) = 0 .}\)

\(\displaystyle{ T_{21} = T_{12} = 0.}\)

\(\displaystyle{ T_{22} = m\cdot(x^2 + z^2) = m[(a,0,0)^2 + (0, 2a,a)^2] = m[(a^2,0,0) + (0, 4a^2, a^2)] = m(a^2 + 4a^2+a^2) = 6ma^2.}\)

\(\displaystyle{ T_{23} -myz = -m[ (0,a,2a)(0,2a,a)] = -m(0 + 2a^2 + 2a^2) =-4ma^2.}\)

\(\displaystyle{ T_{31} = T_{13} = 0.}\)

\(\displaystyle{ T_{32} = T_{23} = -4ma^2.}\)

\(\displaystyle{ T_{33} = m(x^2 + y^2) = m[(a,0,0)^2 + (0,a,2a)^2] = m[(a^2,0,0)+(0,a^2, 4a^2)] = m(a^2 +a^2+4a^2) = 6ma^2.}\)

\(\displaystyle{ T = \begin{bmatrix} 10ma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 6ma^2 & -4ma^2 \\ 0 & -4ma^2 & 6ma^2 \end{bmatrix}.}\)

Wielomian charakterystyczny:

\(\displaystyle{ w(\lambda) = \det(T - \lambda I) =\det\begin{bmatrix}10 ma^2 -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 6ma^2 -\lambda & -4ma^2 \\ 0 & -4ma^2 & 6ma^2 -\lambda \end{bmatrix} = 0 }\) ma wartości własne:

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = 2ma^2, \ \ \lambda_{2} = \lambda_{3} = 10ma^2. }\)

Wektory własne odpowiadające wartościom własnym obliczamy z układów równań:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 8mc^2 & 0 & 0 \\ 0 & 4mc^2 & 0 \\ 0 & -4mc^2 & 4mc^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \ \ \ \ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4mc^2 & -4mc^2 \\ 0 & -4mc^2 & -4mc^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \ \ \ \ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4mc^2 & -4ma^2 \\ 0 & -4ma^2 & -4ma^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.}\)

Po ich normalizacji otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \vec{u_{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\1 \end{bmatrix}, \ \ \ \ \vec{u_{2} }= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix}, \ \ \ \vec{u_{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\-1 \end{bmatrix}.}\)

Tensor głównych momentów bezwładności układu:

\(\displaystyle{ \vec{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}.}\)