Przyspieszenie środka masy

Mechanika płynów. Sprężystość. Grawitacja. Inne zagadnienia mechaniki klasycznej.
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Przyspieszenie środka masy

Post autor: michalkl »

Cześć,

zastanawiam się nad takim zagadnieniem. Mamy krążek o masie momencie bezwładności I_o i promieniu R, nawiniętą na niego nić oraz ciężar o masie M (przywiązany do nici). Chce policzyć ile wynosi przyspieszenie środka masy. Wiadomo, że przyspieszenie z jakim będzie zjeżdżać klocek wynosi:
\(\displaystyle{ a=\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Liczę przyspieszenie środka masy A ze wzoru:
\(\displaystyle{ (m_1+m_2)A=m_1a_1+m_2a_2}\)
\(\displaystyle{ (m+M)A=Ma}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Jeżeli chce skorzystać z innej postaci na przyspieszanie środka masy A, to:
\(\displaystyle{ (m+M)=F_{zew}=Mg}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}g}\)

Udało mi się wyprowadzić zależność:
\(\displaystyle{ \vec{M}=\vec{M_o}+m\vec{d} \times \vec{A}}\)
gdzie Mo - moment siły względem środka masy, M - moment siły względem innej równoległej osi, A - przyspieszenie środka masy, d - wektor łączący oś względem, której liczymy moment M z osią względem, której liczymy moment Mo.

Podstawiając ostatnią zależność na przyspieszenie środka masy, otrzymuję tożsamość. Dlatego skłaniam się, że to właśnie to A jest tym prawidłowym. Tylko dlaczego w takim przypadku, otrzymuję z innej postaci na A zupełnie inny wynik? Czy ktoś widzi może jakiś błąd w rozumowaniu?

Pozdrawiam,
Michał
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: janusz47 »

Masa krążka jest dana ?

Skąd tyle równań ?

Skąd wiadomo, że, \(\displaystyle{ a = ... }\) ?

Ta udanie wyprowadzona zależność to równanie wektorowe na moment siły.

Czy można odkręcanie śruby koła samochodu za pomocą długiego klucza porównywać z ruchem pionowym krążka po nici (z popularnym JOJO )?


Przyśpieszenie krążka po nici znajdujemy z rozwiązania dwóch równań, wynikających z II zasady dynamiki Newtona.
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2022, o 16:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

michalkl pisze: 7 wrz 2022, o 07:59 Jeżeli chce skorzystać z innej postaci na przyspieszanie środka masy A, to:
\(\displaystyle{ (m+M)=F_{zew}=Mg}\)
Zgoda, że \((m+M)A=F_{zew}\) (dopisałem brakujące \(A\)). Jednak nie zgodzę się, że wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych jest równa \(Mg\). Czy oprócz siły grawitacji działającej na klocek, pozostałe siły się równoważą? Nie widzę podstaw, żeby tak sądzić.
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: michalkl »

Dziękuję wszystkim za odpowiedzi. Załączam dodatkowo rysunek układu. Krążek jest przymocowany do osi.
Uklad.png
Uklad.png (5.23 KiB) Przejrzano 2174 razy
3a174ad9764fefcb pisze: 8 wrz 2022, o 14:06 Czy oprócz siły grawitacji działającej na klocek, pozostałe siły się równoważą? Nie widzę podstaw, żeby tak sądzić.
Siły N (naciąg linki) są siłami wewnętrznymi w układzie, więc się nawzajem kasują w równaniu
\(\displaystyle{ (m+M)A=F_{wyp}}\)
Siła Fr równoważy siłę mg, ponieważ krążek nie ma przyspieszenia w pionie. Jako siła zewnętrzna zostaje tylko Mg (ciężar klocka). Ja nie widzę już żadnej innej niezrównoważonej siły zewnętrznej.
janusz47 pisze: 7 wrz 2022, o 15:18 Skąd wiadomo, że, \(\displaystyle{ a = ... }\) ?
Przyspieszenie kloca wynika z rozwiązania równań:
\(\displaystyle{ Ma=Mg-N}\)
\(\displaystyle{ I_o\epsilon=NR}\)
\(\displaystyle{ \epsilon=\frac{a}{R}}\)
janusz47 pisze: 7 wrz 2022, o 15:18 Ta udanie wyprowadzona zależność to równanie wektorowe na moment siły.
Czy można odkręcanie śruby koła samochodu za pomocą długiego klucza porównywać z ruchem pionowym krążka po nici (z popularnym JOJO )?
W Resnicku znalazłem, że wzór na środek masy \(\displaystyle{ M\vec{A}=\sum m_i \vec{a_i}}\) może być stosowany do wszystkich zbiorów cząstek, w których występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Środek masy każdego układu, niezależnie od tego, jaki jest ten układ, oraz niezależnie od ruchu jego poszczególnych części, porusza się zgodnie z tym równaniem.

Według mnie mogę tutaj stosować ten wzór na liczenie środka masy dla podanego przykładu. Podczas wyprowadzania wzoru nie narzucono nic na temat jak mają się cząstki poruszać. Ale jak widać, podchodząc troszkę z innej strony, otrzymuję dwa różne wyniki co nie może mieć miejsca.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

michalkl pisze: 10 wrz 2022, o 22:34 Siła Fr równoważy siłę mg, ponieważ krążek nie ma przyspieszenia w pionie.
To jest nieprawda. Z zerowego przyspieszenia krążka możesz wywnioskować, że siły działające na krążek się równoważą. Tzn. \(N+mg=F_r\), czyli \(F_r>mg\), chyba że siła naciągu jest zerowa.
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: michalkl »

3a174ad9764fefcb pisze: 10 wrz 2022, o 23:07 To jest nieprawda. Z zerowego przyspieszenia krążka możesz wywnioskować, że siły działające na krążek się równoważą. Tzn. N+mg=Fr, czyli Fr>mg, chyba że siła naciągu jest zerowa.
Tak, masz rację. Później usiadłem raz jeszcze do tego problemu i udało mi się go rozwiązać. Problem polegał na tym, że przez cały czas przyjmowałem owe błędne założenie, że Fr=mg.

Oczywiście mamy, że (zgodnie z rysunkiem układu z poprzedniego mojego posta)
\(\displaystyle{ Ma=Mg-N}\)
\(\displaystyle{ I\epsilon = NR}\)
\(\displaystyle{ F_r=mg+N}\)
\(\displaystyle{ \epsilon=\frac{a}{R}}\)
Rozwiązując układ otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ a=\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
\(\displaystyle{ N=\frac{MgI_o}{I_o+MR^2}}\)

Korzystam z równania:
\(\displaystyle{ (m+M)A=F_{zew}=Mg+mg-F_r=Mg+mg-mg-N=Mg-N}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{m+M}(Mg-\frac{MgI_o}{I_o+MR^2})=\frac{1}{m+M}\frac{MgI_o+M^2gR^2-MgI_o}{I_o+MR^2}=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)

Skorzystajmy z trochę innego podejścia:
\(\displaystyle{ (m+M)A=Ma=M\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)

Jeszcze trzecie podejście. Korzystamy z równania na
\(\displaystyle{ \vec{M}=\vec{M_o}+M_u\vec{R}\times \vec{A}}\)
Przyjmę początek układu w środku krążka. Niech odległość środka masy (w kierunku x) od początku układu wynosi x. Zakładam, że jeżeli siła daje moment obrotowy, który chce obracać zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to będzie wchodziła z plusem do powyższego równania (liczę sumę momentów względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku). Wtedy
\(\displaystyle{ MgR=Mg(R-x)-mgx+F_rx+(m+M)xA}\)
\(\displaystyle{ 0=-Mg-mg+F_r+(m+M)A}\)
\(\displaystyle{ (m+M)A=Mg+Mg-F_r=Mg+mg-mg-N=Mg-N}\)
To równanie już otrzymaliśmy wcześniej, więc znowu
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)

Z każdego podejścia mam ten sam wynik. Widać, że problem wziął się z mojego błędnego podejścia, że Fr=mg.

Dziękuję wszystkim za pomoc oraz poświęcony czas.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: janusz47 »

Proszę poprawić rysunek, bo krążek nie może wisieć w powietrzu. Musimy go zawiesić na nici z drugiej strony. Na krążek działają dwie siły: siła ciężkości i siła napięcia nici. Ponieważ zakładamy, że promień krążka jest mały w porównaniu z długością nici, więc moment siły ciężkości względem punktu zawieszenia można zaniedbać i podczas ruchu krążka nić można uważać za dokładnie pionową.

Przspieszenie środka masy wyrażamy przez różnicę sił działających na krążek. Pod działaniem momentu siły napięcia nici względem środka masy krążek oprócz ruchu postępowego podlega ruchowi obrotowemu wokół osi przechodzącej przez środek masy.

Ponieważ obie siły są równoległe więc równania skalarne wynikające z II prawa Newtona są poprawne.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

michalkl pisze: 11 wrz 2022, o 07:40 Problem polegał na tym, że przez cały czas przyjmowałem owe błędne założenie, że Fr=mg.
Przechodziłem przez podobne wątpliwości, gdy się uczyłem fizyki w liceum.
janusz47 pisze: 11 wrz 2022, o 08:32 Proszę poprawić rysunek, bo krążek nie może wisieć w powietrzu.
Lol. Rysunek jest jasny. Nie trzeba go zmieniać.
janusz47 pisze: 11 wrz 2022, o 08:32 Musimy go zawiesić na nici z drugiej strony.
Krążek, jak się domyślam, nie wisi na nici, tylko poprzez łożysko jest zamocowany na nieruchomym wale. Wieszanie krążka na nici to niepotrzebna komplikacja tutaj.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: janusz47 »

Rysunek należy zmienić krążek nie jest nieważki.

Jeśli znajduje się na nieruchomym wale to rysunek też należy zmienić i nie ma wtedy mowy o ruchu postępowym krążka.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

janusz47 pisze: 11 wrz 2022, o 09:56 i nie ma wtedy mowy o ruchu postępowym krążka.
Nie ma i nie było. Wszystkie rozwiązania na tym się opierały, że oś krążka jest nieruchoma. Czy Pan tego nie zauważył?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: janusz47 »

Jeśli nie zauważyłem, to krążek nie może być zawieszony w powietrzu. Oś krążka należy przytwierdzić do podłoża.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: janusz47 »

michalki

Myślałem, że Twój problem to JOJO na sznurku, a nie krążek osadzony na osi.

Dopiero 3a174ad9764fefcb wyprowadził mnie z błędu.

Cieszę że doszedłeś do rozwiązania postawionego problemu.

Za to niedowidzenie zamieszczam prosty programik w MATLABIE, obliczający moment siły \(\displaystyle{ \vec{S} }\) przyłożonej w punkcie o współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{r} = [x, y, 0] }\) i nachylonej do osi \(\displaystyle{ Ox }\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha. }\)

Kod: Zaznacz cały

function moment_sily(x,y,S,alpha)
% wektor promienia i siły
r=[x;y;0];
S=[S*cos(alpha);S*sin(alpha);0];
M=cross(r,S);
% wyświetlenie wyników
disp('promień'); disp(r);
disp('siła'); disp(S);
disp('moment siły'); disp(M);
Przykład

Kod: Zaznacz cały

>> moment_sily(2,1,3,-pi/6)
promień
     2
     1
     0

siła
    2.5981
   -1.5000
         0

moment siły
         0
         0
   -5.5981
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Przyspieszenie środka masy

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

janusz47 pisze: 11 wrz 2022, o 17:41 Myślałem, że Twój problem to JOJO na sznurku, a nie krążek osadzony na osi.

Dopiero 3a174ad9764fefcb wyprowadził mnie z błędu.
Wcześniej nie zauważyłem, że było takie nieporozumienie. Błędnie myślałem, że chodzi tylko o upiększanie rysunku. Przepraszam za pomyłkę.
ODPOWIEDZ