Przyspieszenie środka masy
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żyrardów
Przyspieszenie środka masy
Cześć,
zastanawiam się nad takim zagadnieniem. Mamy krążek o masie momencie bezwładności I_o i promieniu R, nawiniętą na niego nić oraz ciężar o masie M (przywiązany do nici). Chce policzyć ile wynosi przyspieszenie środka masy. Wiadomo, że przyspieszenie z jakim będzie zjeżdżać klocek wynosi:
\(\displaystyle{ a=\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Liczę przyspieszenie środka masy A ze wzoru:
\(\displaystyle{ (m_1+m_2)A=m_1a_1+m_2a_2}\)
\(\displaystyle{ (m+M)A=Ma}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Jeżeli chce skorzystać z innej postaci na przyspieszanie środka masy A, to:
\(\displaystyle{ (m+M)=F_{zew}=Mg}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}g}\)
Udało mi się wyprowadzić zależność:
\(\displaystyle{ \vec{M}=\vec{M_o}+m\vec{d} \times \vec{A}}\)
gdzie Mo - moment siły względem środka masy, M - moment siły względem innej równoległej osi, A - przyspieszenie środka masy, d - wektor łączący oś względem, której liczymy moment M z osią względem, której liczymy moment Mo.
Podstawiając ostatnią zależność na przyspieszenie środka masy, otrzymuję tożsamość. Dlatego skłaniam się, że to właśnie to A jest tym prawidłowym. Tylko dlaczego w takim przypadku, otrzymuję z innej postaci na A zupełnie inny wynik? Czy ktoś widzi może jakiś błąd w rozumowaniu?
Pozdrawiam,
Michał
zastanawiam się nad takim zagadnieniem. Mamy krążek o masie momencie bezwładności I_o i promieniu R, nawiniętą na niego nić oraz ciężar o masie M (przywiązany do nici). Chce policzyć ile wynosi przyspieszenie środka masy. Wiadomo, że przyspieszenie z jakim będzie zjeżdżać klocek wynosi:
\(\displaystyle{ a=\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Liczę przyspieszenie środka masy A ze wzoru:
\(\displaystyle{ (m_1+m_2)A=m_1a_1+m_2a_2}\)
\(\displaystyle{ (m+M)A=Ma}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Jeżeli chce skorzystać z innej postaci na przyspieszanie środka masy A, to:
\(\displaystyle{ (m+M)=F_{zew}=Mg}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}g}\)
Udało mi się wyprowadzić zależność:
\(\displaystyle{ \vec{M}=\vec{M_o}+m\vec{d} \times \vec{A}}\)
gdzie Mo - moment siły względem środka masy, M - moment siły względem innej równoległej osi, A - przyspieszenie środka masy, d - wektor łączący oś względem, której liczymy moment M z osią względem, której liczymy moment Mo.
Podstawiając ostatnią zależność na przyspieszenie środka masy, otrzymuję tożsamość. Dlatego skłaniam się, że to właśnie to A jest tym prawidłowym. Tylko dlaczego w takim przypadku, otrzymuję z innej postaci na A zupełnie inny wynik? Czy ktoś widzi może jakiś błąd w rozumowaniu?
Pozdrawiam,
Michał
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
Masa krążka jest dana ?
Skąd tyle równań ?
Skąd wiadomo, że, \(\displaystyle{ a = ... }\) ?
Ta udanie wyprowadzona zależność to równanie wektorowe na moment siły.
Czy można odkręcanie śruby koła samochodu za pomocą długiego klucza porównywać z ruchem pionowym krążka po nici (z popularnym JOJO )?
Przyśpieszenie krążka po nici znajdujemy z rozwiązania dwóch równań, wynikających z II zasady dynamiki Newtona.
Skąd tyle równań ?
Skąd wiadomo, że, \(\displaystyle{ a = ... }\) ?
Ta udanie wyprowadzona zależność to równanie wektorowe na moment siły.
Czy można odkręcanie śruby koła samochodu za pomocą długiego klucza porównywać z ruchem pionowym krążka po nici (z popularnym JOJO )?
Przyśpieszenie krążka po nici znajdujemy z rozwiązania dwóch równań, wynikających z II zasady dynamiki Newtona.
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2022, o 16:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
Zgoda, że \((m+M)A=F_{zew}\) (dopisałem brakujące \(A\)). Jednak nie zgodzę się, że wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych jest równa \(Mg\). Czy oprócz siły grawitacji działającej na klocek, pozostałe siły się równoważą? Nie widzę podstaw, żeby tak sądzić.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żyrardów
Re: Przyspieszenie środka masy
Dziękuję wszystkim za odpowiedzi. Załączam dodatkowo rysunek układu. Krążek jest przymocowany do osi.
\(\displaystyle{ (m+M)A=F_{wyp}}\)
Siła Fr równoważy siłę mg, ponieważ krążek nie ma przyspieszenia w pionie. Jako siła zewnętrzna zostaje tylko Mg (ciężar klocka). Ja nie widzę już żadnej innej niezrównoważonej siły zewnętrznej.
\(\displaystyle{ Ma=Mg-N}\)
\(\displaystyle{ I_o\epsilon=NR}\)
\(\displaystyle{ \epsilon=\frac{a}{R}}\)
Według mnie mogę tutaj stosować ten wzór na liczenie środka masy dla podanego przykładu. Podczas wyprowadzania wzoru nie narzucono nic na temat jak mają się cząstki poruszać. Ale jak widać, podchodząc troszkę z innej strony, otrzymuję dwa różne wyniki co nie może mieć miejsca.
Siły N (naciąg linki) są siłami wewnętrznymi w układzie, więc się nawzajem kasują w równaniu3a174ad9764fefcb pisze: ↑8 wrz 2022, o 14:06 Czy oprócz siły grawitacji działającej na klocek, pozostałe siły się równoważą? Nie widzę podstaw, żeby tak sądzić.
\(\displaystyle{ (m+M)A=F_{wyp}}\)
Siła Fr równoważy siłę mg, ponieważ krążek nie ma przyspieszenia w pionie. Jako siła zewnętrzna zostaje tylko Mg (ciężar klocka). Ja nie widzę już żadnej innej niezrównoważonej siły zewnętrznej.
Przyspieszenie kloca wynika z rozwiązania równań:
\(\displaystyle{ Ma=Mg-N}\)
\(\displaystyle{ I_o\epsilon=NR}\)
\(\displaystyle{ \epsilon=\frac{a}{R}}\)
W Resnicku znalazłem, że wzór na środek masy \(\displaystyle{ M\vec{A}=\sum m_i \vec{a_i}}\) może być stosowany do wszystkich zbiorów cząstek, w których występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Środek masy każdego układu, niezależnie od tego, jaki jest ten układ, oraz niezależnie od ruchu jego poszczególnych części, porusza się zgodnie z tym równaniem.
Według mnie mogę tutaj stosować ten wzór na liczenie środka masy dla podanego przykładu. Podczas wyprowadzania wzoru nie narzucono nic na temat jak mają się cząstki poruszać. Ale jak widać, podchodząc troszkę z innej strony, otrzymuję dwa różne wyniki co nie może mieć miejsca.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
To jest nieprawda. Z zerowego przyspieszenia krążka możesz wywnioskować, że siły działające na krążek się równoważą. Tzn. \(N+mg=F_r\), czyli \(F_r>mg\), chyba że siła naciągu jest zerowa.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żyrardów
Re: Przyspieszenie środka masy
Tak, masz rację. Później usiadłem raz jeszcze do tego problemu i udało mi się go rozwiązać. Problem polegał na tym, że przez cały czas przyjmowałem owe błędne założenie, że Fr=mg.3a174ad9764fefcb pisze: ↑10 wrz 2022, o 23:07 To jest nieprawda. Z zerowego przyspieszenia krążka możesz wywnioskować, że siły działające na krążek się równoważą. Tzn. N+mg=Fr, czyli Fr>mg, chyba że siła naciągu jest zerowa.
Oczywiście mamy, że (zgodnie z rysunkiem układu z poprzedniego mojego posta)
\(\displaystyle{ Ma=Mg-N}\)
\(\displaystyle{ I\epsilon = NR}\)
\(\displaystyle{ F_r=mg+N}\)
\(\displaystyle{ \epsilon=\frac{a}{R}}\)
Rozwiązując układ otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ a=\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
\(\displaystyle{ N=\frac{MgI_o}{I_o+MR^2}}\)
Korzystam z równania:
\(\displaystyle{ (m+M)A=F_{zew}=Mg+mg-F_r=Mg+mg-mg-N=Mg-N}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{m+M}(Mg-\frac{MgI_o}{I_o+MR^2})=\frac{1}{m+M}\frac{MgI_o+M^2gR^2-MgI_o}{I_o+MR^2}=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Skorzystajmy z trochę innego podejścia:
\(\displaystyle{ (m+M)A=Ma=M\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Jeszcze trzecie podejście. Korzystamy z równania na
\(\displaystyle{ \vec{M}=\vec{M_o}+M_u\vec{R}\times \vec{A}}\)
Przyjmę początek układu w środku krążka. Niech odległość środka masy (w kierunku x) od początku układu wynosi x. Zakładam, że jeżeli siła daje moment obrotowy, który chce obracać zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to będzie wchodziła z plusem do powyższego równania (liczę sumę momentów względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku). Wtedy
\(\displaystyle{ MgR=Mg(R-x)-mgx+F_rx+(m+M)xA}\)
\(\displaystyle{ 0=-Mg-mg+F_r+(m+M)A}\)
\(\displaystyle{ (m+M)A=Mg+Mg-F_r=Mg+mg-mg-N=Mg-N}\)
To równanie już otrzymaliśmy wcześniej, więc znowu
\(\displaystyle{ A=\frac{M}{m+M}\frac{MgR^2}{I_o+MR^2}}\)
Z każdego podejścia mam ten sam wynik. Widać, że problem wziął się z mojego błędnego podejścia, że Fr=mg.
Dziękuję wszystkim za pomoc oraz poświęcony czas.
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
Proszę poprawić rysunek, bo krążek nie może wisieć w powietrzu. Musimy go zawiesić na nici z drugiej strony. Na krążek działają dwie siły: siła ciężkości i siła napięcia nici. Ponieważ zakładamy, że promień krążka jest mały w porównaniu z długością nici, więc moment siły ciężkości względem punktu zawieszenia można zaniedbać i podczas ruchu krążka nić można uważać za dokładnie pionową.
Przspieszenie środka masy wyrażamy przez różnicę sił działających na krążek. Pod działaniem momentu siły napięcia nici względem środka masy krążek oprócz ruchu postępowego podlega ruchowi obrotowemu wokół osi przechodzącej przez środek masy.
Ponieważ obie siły są równoległe więc równania skalarne wynikające z II prawa Newtona są poprawne.
Przspieszenie środka masy wyrażamy przez różnicę sił działających na krążek. Pod działaniem momentu siły napięcia nici względem środka masy krążek oprócz ruchu postępowego podlega ruchowi obrotowemu wokół osi przechodzącej przez środek masy.
Ponieważ obie siły są równoległe więc równania skalarne wynikające z II prawa Newtona są poprawne.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
Przechodziłem przez podobne wątpliwości, gdy się uczyłem fizyki w liceum.
Lol. Rysunek jest jasny. Nie trzeba go zmieniać.
Krążek, jak się domyślam, nie wisi na nici, tylko poprzez łożysko jest zamocowany na nieruchomym wale. Wieszanie krążka na nici to niepotrzebna komplikacja tutaj.
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
Rysunek należy zmienić krążek nie jest nieważki.
Jeśli znajduje się na nieruchomym wale to rysunek też należy zmienić i nie ma wtedy mowy o ruchu postępowym krążka.
Jeśli znajduje się na nieruchomym wale to rysunek też należy zmienić i nie ma wtedy mowy o ruchu postępowym krążka.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
Nie ma i nie było. Wszystkie rozwiązania na tym się opierały, że oś krążka jest nieruchoma. Czy Pan tego nie zauważył?
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
michalki
Myślałem, że Twój problem to JOJO na sznurku, a nie krążek osadzony na osi.
Dopiero 3a174ad9764fefcb wyprowadził mnie z błędu.
Cieszę że doszedłeś do rozwiązania postawionego problemu.
Za to niedowidzenie zamieszczam prosty programik w MATLABIE, obliczający moment siły \(\displaystyle{ \vec{S} }\) przyłożonej w punkcie o współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{r} = [x, y, 0] }\) i nachylonej do osi \(\displaystyle{ Ox }\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha. }\)
Przykład
Myślałem, że Twój problem to JOJO na sznurku, a nie krążek osadzony na osi.
Dopiero 3a174ad9764fefcb wyprowadził mnie z błędu.
Cieszę że doszedłeś do rozwiązania postawionego problemu.
Za to niedowidzenie zamieszczam prosty programik w MATLABIE, obliczający moment siły \(\displaystyle{ \vec{S} }\) przyłożonej w punkcie o współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{r} = [x, y, 0] }\) i nachylonej do osi \(\displaystyle{ Ox }\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha. }\)
Kod: Zaznacz cały
function moment_sily(x,y,S,alpha)
% wektor promienia i siły
r=[x;y;0];
S=[S*cos(alpha);S*sin(alpha);0];
M=cross(r,S);
% wyświetlenie wyników
disp('promień'); disp(r);
disp('siła'); disp(S);
disp('moment siły'); disp(M);
Kod: Zaznacz cały
>> moment_sily(2,1,3,-pi/6)
promień
2
1
0
siła
2.5981
-1.5000
0
moment siły
0
0
-5.5981
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Przyspieszenie środka masy
Wcześniej nie zauważyłem, że było takie nieporozumienie. Błędnie myślałem, że chodzi tylko o upiększanie rysunku. Przepraszam za pomyłkę.