Matematyka.pl

Jak długo będzie rozpędzać sie kulka aluminiowa (\(\displaystyle{ 2,7 g/cm^3}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1.5 cm}\)) w glicerynie (\(\displaystyle{ 1,26 g/cm^3}\)) aż przyspieszenie będzie równe \(\displaystyle{ 0}\), a ona osiągnie swoją prędkość graniczna (z wyliczeń wyszło mi, że wynosi ona \(\displaystyle{ 0,49 m/s}\))? 

Wystarczy mi sam wzór

Dziękuje bardzo za pomoc

Równanie ruchu będzię wyglądało następująco:
\(\displaystyle{ m \cdot \frac{d ^{2} x }{dt ^{2} } = - \frac{1}{2} \rho _{1} \cdot C _{x} \cdot A \cdot \left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} }\)

Współczynnik oporu dla kuli:
\(\displaystyle{ C _{x} = 0,47 }\)
\(\displaystyle{ A = \pi r ^{2} = 7 cm ^{2} }\)
\(\displaystyle{ \rho _{1} = 1,26 \frac{g}{cm ^{3} } }\)
\(\displaystyle{ m = \rho _{2} \cdot V = \rho _{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r ^{3} = 38,151g }\)

Teraz należy rozwiązać równanie ruchu i wziąć granicę
\(\displaystyle{ v _{gr} = \lim_{ t \to + \infty } \left( \frac{dx}{dt} \right) }\)

Dodano po 34 minutach 45 sekundach:

Yaroo10 pisze: ↑21 lut 2022, o 12:03 Równanie ruchu będzię wyglądało następująco:
\(\displaystyle{ m \cdot \frac{d ^{2} x }{dt ^{2} } = - \frac{1}{2} \rho _{1} \cdot C _{x} \cdot A \cdot \left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} }\)

Tam powinno być:
\(\displaystyle{ m \cdot \frac{d ^{2} x }{dt ^{2} } =F - \frac{1}{2} \rho _{1} \cdot C _{x} \cdot A \cdot \left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} }\)

Problem jednak w tym, że nic nie wiemy o \(\displaystyle{ F}\), czyli jak ta kula jest napędzana?

Na kulkę poruszającą się w glicerynie działąją siły: jej ciężar , wypór gliceryny (Prawo Archimedesa) oraz siła oporu cieczy (Prawo Stokesa).

Równanie ruchu kulki możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ m\cdot a = m\cdot g - \rho_{g}\cdot V \cdot g - 6\pi \cdot \eta \cdot v \cdot r \ \ (1)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ V }\) jest objętością kulki, \(\displaystyle{ a }\) jej przyśpieszeniem, \(\displaystyle{ \eta = 0,494 \ \ Pa\cdot s }\) - współczynnik lepkości gliceryny w temperaturze \(\displaystyle{ 20^{o}C. }\)

Po podstawieniu do równania \(\displaystyle{ (1) \ \ m = V\cdot \rho_{Al} }\) otrzymamy

\(\displaystyle{ a = g\left( 1 - \frac{\rho_{Gl}}{\rho_{Al}} \right) - \frac{6\pi\cdot \eta \cdot r}{m}\cdot v \ \ (2) }\)

Wprowadzamy oznaczenia:

\(\displaystyle{ \alpha = g\left(1 -\frac{\rho_{Gl}}{\rho_{Al}} \right), \ \ \beta = \frac{6\pi\cdot \eta\cdot r}{m} \ \ (3) }\)

Uwzględniając, że \(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} }\) - otrzymujemy równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt} = \alpha - \beta\cdot v \ \ (4) }\)

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne I rzędu o stałych współczynnikach, które sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych, podstawiając

\(\displaystyle{ \alpha - \beta \cdot v = u }\)

\(\displaystyle{ -dv = \frac{1}{\beta}\cdot du }\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{\beta}\cdot \frac{du}{dt} = u,}\)

\(\displaystyle{ -\frac{du}{u} = \beta \cdot dt \ \ (5) }\)

Całkując obustronnie równanie \(\displaystyle{ (5) }\) mamy

\(\displaystyle{ -\ln(u) = \beta\cdot t + c }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{u} = e^{\beta\cdot t + c} }\)

\(\displaystyle{ u = \frac{1}{e^{\beta\cdot t + c}} }\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (4) }\)

\(\displaystyle{ \alpha - \beta\cdot v = \frac{1}{e^{\beta\cdot t + c}}, }\)

stąd

\(\displaystyle{ v(t) = \frac{\alpha - e^{-(\beta\cdot t +c)}}{\beta} \ \ (6) }\)

Stałą \(\displaystyle{ c }\) wyznaczamy z warunku początkowego \(\displaystyle{ v(t=0) = v_{o} = 0 }\)

\(\displaystyle{ 0 = \alpha - \frac{1}{e^{c}}, \ \ e^{-c} = \alpha. }\)

Na podstawie równania \(\displaystyle{ (6) }\)

\(\displaystyle{ v(t) = \frac{\alpha(1 - e^{-\beta\cdot t})}{\beta} \ \ (6') }\)

Uwzględniając podstawienia \(\displaystyle{ (3) }\), otrzymujemy wzór na prędkość kulki

\(\displaystyle{ v(t) = \frac{m\cdot g \left(1- \frac{\rho_{Gl}}{\rho_{AL}}\right )}{6\pi\cdot \eta \cdot r} \cdot \left(1- e^{-\frac{6\pi \eta \cdot r}{m}\cdot t} \right) \ \ (7) }\)

Przyśpieszenie kulki obliczamy podstawiając równanie \(\displaystyle{ (7) }\) do równania \(\displaystyle{ (3) }\)

\(\displaystyle{ a(t) = g\cdot \left( 1 - \frac{\rho_{Gl}}{\rho_{Al}} \right) \left[ 1 - m\left(1 - e^{-\frac{6\pi\cdot \eta\cdot r}{m}\cdot t}\right) \right] \ \ (8) }\)

Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ a(t) = 0 }\) względem czasu \(\displaystyle{ t }\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ g\cdot \left( 1 - \frac{\rho_{Gl}}{\rho_{Al}} \right) \left[ 1 - m\left(1 - e^{-\frac{6\pi\cdot \eta\cdot r}{m}\cdot t}\right) \right] = 0 }\)

\(\displaystyle{ t = \frac{m}{6\pi \cdot \eta \cdot r}\ln\left(\frac{m}{m-1}\right) \ \ (9) }\)

Dodano po 9 minutach 46 sekundach:
Jakie wnioski można wyciągnąć na podstawie równań \(\displaystyle{ (6'), (7), (9) }\) ?