Obliczyć moment bezwładności jednorodnego graniastosłupa prostego o podstawie trójkąta równobocznego o boku 1 względem osi łączącej środki jego podstaw.Moment bezwładności
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11428
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Moment bezwładności
Obliczyć moment bezwładności jednorodnego graniastosłupa prostego o podstawie trójkąta równobocznego o boku 1 względem osi łączącej środki jego podstaw.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Moment bezwładności
Moment bezwładności jednorodnego graniastosłupa prostego względem osi prostopadłej do podstawy jest równy momentowi bezwładności figury płaskiej pokrywającą się z podstawą i o masie równej masie całego graniastosłupa.
Zadanie sprowadza się więc do obliczenia momentu bezwładności trójkąta równobocznego o boku długości \(\displaystyle{ a }\) i masie \(\displaystyle{ m }\) względem osi prostopadłej do trójkąta - przechodzącej przez jego środek i łączącej środki jego podstaw.
Poszukiwany wzór powinien więc mieć postać:
\(\displaystyle{ I_{B} = k\cdot m\cdot a^2 \ \ (*)}\)
\(\displaystyle{ k }\) jest poszukiwanym współczynnikiem liczbowym niezależnym od masy i długości boku trójkąta.
Dzielimy trójkąt równoboczny na cztery mniejsze trójkąty równoboczne.
Poszukiwany moment bezwładności jest sumą czterech momentów \(\displaystyle{ I_{B_{1}} + 3\cdot I_{B_{2}} , }\)
gdzie
\(\displaystyle{ I_{B_{1}}}\) jest momentem bezwładności trójkąta środkowego
\(\displaystyle{ I_{B_{2}} }\) jest momentem bezwładności trójkątów skrajnych.
Na podstawie wzoru \(\displaystyle{ (*) }\) moment bezwładności trójkąta środkowego jest równy
\(\displaystyle{ I_{B_{1}} = k \cdot \frac{1}{4}m \cdot \left(\frac{1}{2}a \right)^2 }\)
Moment bezwładności trójkąta skrajnego obliczamy z Twierdzenia Steinera
\(\displaystyle{ I_{B_{2}} = I_{B_{1}} = \left(\frac{1}{4}m\right)\cdot d^2 }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ d }\) - jest odległością od środka masy całego trójkąta, którego obliczamy moment bezwładności do środka masy małego trójkąta.
Moment bezwładności całego trójkąta
\(\displaystyle{ I_{\Delta} = I_{B_{1}} + 3I_{B_{2}} = I_{B_{1}} + 3\left (I_{B_{1}} + \left(\frac{1}{4}m \right) d^2 \right) = 4I_{B_{1}} + \frac{3}{4}m\cdot d^2 = 4I_{B_{1}} + \frac{3}{4}m\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}\)
bo \(\displaystyle{ d = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{6}a\sqrt{3}. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ k\cdot m \cdot a^2 = 4k\left(\frac{1}{4}m\right)\cdot \left(\frac{1}{2}a \right)^2 + \frac{3}{4}m\cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \ \ (**)}\)
Upraszczając wzór \(\displaystyle{ (**) }\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}k\cdot m\cdot a^2 = \frac{3}{48}m\cdot a^2 }\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{12}.}\)
Moment bezwładności graniastosłupa prostego - prawidłowego o podstawie trójkątnej względem osi łączącej środki jego podstaw o długości \(\displaystyle{ 1 }\) jest równy
\(\displaystyle{ I_{B} = \frac{1}{12}m\cdot a^2 = \frac{1}{12}m\cdot 1^2 = \frac{1}{12}.}\)
Dodano po 10 godzinach 6 minutach 48 sekundach:
Korekta
\(\displaystyle{ I_{B} = \frac{1}{12} m.}\)
W treści zadania brakuje masy graniastosłupa.
Zadanie sprowadza się więc do obliczenia momentu bezwładności trójkąta równobocznego o boku długości \(\displaystyle{ a }\) i masie \(\displaystyle{ m }\) względem osi prostopadłej do trójkąta - przechodzącej przez jego środek i łączącej środki jego podstaw.
Poszukiwany wzór powinien więc mieć postać:
\(\displaystyle{ I_{B} = k\cdot m\cdot a^2 \ \ (*)}\)
\(\displaystyle{ k }\) jest poszukiwanym współczynnikiem liczbowym niezależnym od masy i długości boku trójkąta.
Dzielimy trójkąt równoboczny na cztery mniejsze trójkąty równoboczne.
Poszukiwany moment bezwładności jest sumą czterech momentów \(\displaystyle{ I_{B_{1}} + 3\cdot I_{B_{2}} , }\)
gdzie
\(\displaystyle{ I_{B_{1}}}\) jest momentem bezwładności trójkąta środkowego
\(\displaystyle{ I_{B_{2}} }\) jest momentem bezwładności trójkątów skrajnych.
Na podstawie wzoru \(\displaystyle{ (*) }\) moment bezwładności trójkąta środkowego jest równy
\(\displaystyle{ I_{B_{1}} = k \cdot \frac{1}{4}m \cdot \left(\frac{1}{2}a \right)^2 }\)
Moment bezwładności trójkąta skrajnego obliczamy z Twierdzenia Steinera
\(\displaystyle{ I_{B_{2}} = I_{B_{1}} = \left(\frac{1}{4}m\right)\cdot d^2 }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ d }\) - jest odległością od środka masy całego trójkąta, którego obliczamy moment bezwładności do środka masy małego trójkąta.
Moment bezwładności całego trójkąta
\(\displaystyle{ I_{\Delta} = I_{B_{1}} + 3I_{B_{2}} = I_{B_{1}} + 3\left (I_{B_{1}} + \left(\frac{1}{4}m \right) d^2 \right) = 4I_{B_{1}} + \frac{3}{4}m\cdot d^2 = 4I_{B_{1}} + \frac{3}{4}m\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}\)
bo \(\displaystyle{ d = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{6}a\sqrt{3}. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ k\cdot m \cdot a^2 = 4k\left(\frac{1}{4}m\right)\cdot \left(\frac{1}{2}a \right)^2 + \frac{3}{4}m\cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \ \ (**)}\)
Upraszczając wzór \(\displaystyle{ (**) }\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}k\cdot m\cdot a^2 = \frac{3}{48}m\cdot a^2 }\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{12}.}\)
Moment bezwładności graniastosłupa prostego - prawidłowego o podstawie trójkątnej względem osi łączącej środki jego podstaw o długości \(\displaystyle{ 1 }\) jest równy
\(\displaystyle{ I_{B} = \frac{1}{12}m\cdot a^2 = \frac{1}{12}m\cdot 1^2 = \frac{1}{12}.}\)
Dodano po 10 godzinach 6 minutach 48 sekundach:
Korekta
\(\displaystyle{ I_{B} = \frac{1}{12} m.}\)
W treści zadania brakuje masy graniastosłupa.