Mechanika płynów - jak ustawiać warunki

Mechanika płynów. Sprężystość. Grawitacja. Inne zagadnienia mechaniki klasycznej.
Yaroo10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 17 lip 2020, o 10:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 25
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Mechanika płynów - jak ustawiać warunki

Post autor: Yaroo10 »

Witam. Mam pytanie do znających lepiej ten temat niż ja. Mianowicie mam problem z ustanawianiem warunków brzegowych dla równań Naviera-Stokesa.

\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{r} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial \theta} - \frac{ v _{\theta} ^{2} }{r} + v _{z} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial z} \right) = - \frac{ \partial p}{ \partial r} + \rho g _{r} + \mu \left( \frac{ \partial }{ \partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} (r v _{r} ) \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{r} }{ \partial \theta ^{2} } - \frac{2}{r ^{2} } \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial \theta} + \frac{ \partial ^{2} v _{r} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)

\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial \theta} + \frac{ v _{\theta} v _{r} }{r} + v _{z} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial z} \right) = - \frac{1}{r} \frac{ \partial p}{ \partial \theta} + \rho g _{\theta} + \mu \left( \frac{ \partial }{ \partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} (r v _{\theta} ) \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{\theta} }{ \partial \theta ^{2} } + \frac{2}{r ^{2} } \frac{ \partial v _{r} }{ \partial \theta} + \frac{ \partial ^{2} v _{\theta} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)

\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{z} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial \theta} + v _{z} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial z} \right) = - \frac{ \partial p}{ \partial z} + \rho g _{z} + \mu \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} \left( r \frac{ \partial v _{z} }{ \partial r} \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{z} }{ \partial \theta ^{2} } + \frac{ \partial ^{2} v _{z} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)


Rozważmy dla przykładu dwie sytuacje:

1. Mamy dany cylinder o długości \(\displaystyle{ L >> R}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\) oraz kulę o promieniu \(\displaystyle{ r<R}\) umieszczoną w cylindrze w odległości \(\displaystyle{ x}\). Chciałbym znaleźć pole prędkości ściśliwego gazu (o gęstości \(\displaystyle{ \rho}\)) przepływającego w tym cylindrze pod wpływem różnicy ciśnień \(\displaystyle{ p _{1} > p _{2} }\). Przepływ ten jest powolny i nieturbulentny. Gaz ma proste właściwości (opisuje się równaniem Clapeyrona). Na wejściu cylindra gaz ma jednolitą prędkość \(\displaystyle{ v _{0} }\). Załóżmy, że kula nie przemieszcza się pod wpływem gazu, jest jedynie dla niego przeszkodą.
Fluid Mechanics.jpg
Fluid Mechanics.jpg (31.75 KiB) Przejrzano 621 razy
2. Mamy identyczną sytuację, jednak w tym przypadku chemy, aby kula obracała się z szybkością kątową \(\displaystyle{ \omega}\) wokół osi \(\displaystyle{ k}\) prostopadłej do osi cylindra.
Fluid Mechanics rotating ball.jpg
Fluid Mechanics rotating ball.jpg (32.83 KiB) Przejrzano 621 razy
Prosiłbym o pomoc w uproszczeniu równań Naviera-Stokesa. Jakie warunki powinienem nanieść na te równania?
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 618
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 48 razy

Re: Mechanika płynów - jak ustawiać warunki

Post autor: StudentIB »

Zagadnienie dosyć złożone, w czym chcesz to liczyć ? Miałeś do czynienia z oprogramowaniem CFD ? Może to być dobry punkt wyjścia i przy okazji sposób weryfikacji poprawności dokonanych obliczeń. Ogólnie tutaj powinny być takie warunki:
- wlot z zadanym ciśnieniem \(\displaystyle{ p_{1}}\)
- wylot z zadanym ciśnieniem \(\displaystyle{ p_{2}}\)
- wnętrze rury - jeden z 2 warunków w zależności od tego co chcesz przyjąć - brak poślizgu (\(\displaystyle{ u=0}\)) lub poślizg (bardziej złożony warunek z zerową składową normalną prędkości)
- kula - j.w. dla przypadku 1, zaś dla przypadku 2 mógłbyś chyba przeliczyć prędkość obrotową tak by zdefiniować ją w kartezjańskich składowych
Yaroo10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 17 lip 2020, o 10:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 25
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Mechanika płynów - jak ustawiać warunki

Post autor: Yaroo10 »

Z oprogramowaniem nie miałem jeszcze doczynienia, ale już poszukuję jakiejś wersji edukacyjnej :D

To może byśmy uprościli te sytuacje, ponieważ ogólnie chodzi mi jedynie o rozkład prędkości gazu wokół kuli (nieruchomej i rotującej).

Czy byłbyś wstanie przekopiować powyższe równania Naviera-Stokesa i pokasować wyrazy, które znikają? Ewentualnie co trzeba dodać?
- wnętrze rury - jeden z 2 warunków w zależności od tego co chcesz przyjąć - brak poślizgu (u=0) lub poślizg (bardziej złożony warunek z zerową składową normalną prędkości)
Tutaj niestety musiałbym rozważyć wersję bez poślizgu, ponieważ zmierzam ku rzeczywistemu opływowi kuli.

Moim celem jest jedynie znaleźć skrócone do minimum równania różniczkowe ruchu płynu przez przeszkodę (kulę)... Rozwiązaniami tych równań będę zajmował się później.
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 618
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 48 razy

Re: Mechanika płynów - jak ustawiać warunki

Post autor: StudentIB »

W kwestii programów do CFD warty uwagi jest OpenFOAM. To darmowe i otwarte (dostępny kod źródłowy) środowisko o ogromnych możliwościach (korzystają z niego nawet największe korporacje z branży motoryzacyjnej, lotniczej czy elektronicznej). Problemem może być trudna obsługa, ponieważ nie ma środowiska graficznego, ale ostatnio testowałem moduł do obliczeń z użyciem OpenFOAM w również darmowym i otwartym programie FreeCAD. Możesz tam łatwo policzyć swój przykład dla porównania. W razie czego postaram się pomóc z taką symulacją.

A wracając do własnoręcznych obliczeń, przerabiałeś już taką procedurę dla jakiegoś prostszego przykładu ? To zadanie jest dosyć złożone i najlepiej zacząć od podstaw żeby zobaczyć jak do tego w ogóle podejść. Kiedyś dokładnie przeanalizowałem ten przykład:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=xLQNqwPUuN4


Wszystko jest tam bardzo porządnie wyjaśnione. Widać które człony równania znikają przy poszczególnych założeniach i jak wprowadza się warunki brzegowe.

To zadanie na studia ? Prowadzący polecił jakąś literaturę ? Może znajdą się w niej zbliżone przykłady.
ODPOWIEDZ