Koło, moment siły i moment pędu

Mechanika płynów. Sprężystość. Grawitacja. Inne zagadnienia mechaniki klasycznej.
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: michalkl »

Cześć,

w starym wydaniu Resnicka jest omawiane takie zagadnienie. Człowiek trzyma w ręku pręt, do którego przymocowane jest koło. Koło może swobodnie się obracać. W pewnej chwili człowiek unosi pręt tak jak na rysunku poniżej.
moment pedu.png
moment pedu.png (10.06 KiB) Przejrzano 1154 razy
Na rysunku czerwony wektor L, to końcowy moment pędu. Zielony wektor L, to początkowy moment pędu. dL to zmiana pędu. W książce napisali, że koło zboczy wtedy na prawo. I tutaj tego nie rozumiem. Zgodnie z zasadą \(\displaystyle{ \vec{M}=\frac{d \vec{L}}{dt}}\), moment siły, który zmienia L powinien mieć kierunek pionowy i zwrot do góry. Taki moment siły da siła, która byłaby prostopadła do koła i skierowana w lewo (względem człowieka). Według mnie koło powinno skręcić w lewo.

Czy mogę prosić o rozwianie wątpliwości?

Pozdrawiam,

Michał
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: AiDi »

michalkl pisze: 24 wrz 2022, o 08:06 W pewnej chwili człowiek unosi pręt tak jak na rysunku poniżej.
Czyli jak, bo dla mnie to nie jest jasne.
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: michalkl »

W płaszczyźnie pionowej do góry o mały kąt.
Ostatnio zmieniony 24 wrz 2022, o 10:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: AiDi »

Zajrzałem do książki i w sumie piszą to samo co Ty. Żeby zmienić moment pędu pionowo do góry to musimy zadziałać odpowiednią siłą w lewo, bo jak nie zadziałamy, to koło wypadnie z płaszczyzny pionowej w stronę prawą. Działanie w lewo przeciwdziała temu i pozwala utrzymać wirujące koło w rozważanej płaszczyźnie.
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: michalkl »

Nie rozumiem tylko czemu koło ma skręcić w prawo, gdy je podnosi człowiek. Z tego wynika, że działający moment siły na koło powinien mieć zwrot przeciwny (czyli pionowo w dół). Skąd ma się wziąć ten moment siły?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: janusz47 »

Z dążności do precesji (ruchu precysyjnego) o momencie \(\displaystyle{ \overline{\tau} = \frac{\Delta L}{\Delta t}. }\)

W tym przypadku \(\displaystyle{ \overline{\tau} = m\cdot g \cdot d. }\)
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: michalkl »

A czy ten moment siły nie będzie obracał pręt początkowo w lewo? Zgodnie z podręcznikiem pręt powinien przy niewielkim obrocie do góry skręcić prętem w prawo.

Trochę pomyślałem nad tym i doszedłem do takich wniosków.
moment pedu 2.png
moment pedu 2.png (7.21 KiB) Przejrzano 1058 razy
Niech pręt będzie ustawiony wzdłuż osi y. Siła ciężkości daje moment obrotowy M (skierowany w kierunku -x). Człowiek obracając pręt do góry musi działać z momentem M' (wzdłuż osi +x). Moment M' jest większy niż moment M i z tego powodu wektor zmiany pędu układu będzie skierowane wzdłuż osi +x. Koło zaczyna odchylać się na prawo.

Człowiek jeżeli chce zachować koło w płaszczyźnie pionowej (y-z) musi działać z siłą skierowaną w lewo (oś -x). Taka siła da zmianę momentu pędu skierowany wzdłuż osi +z. Człowiek musi również tak dopasować moment M' wzdłuż osi +x, aby zrównał się on z momentem od siły ciężkości. W przeciwny razie pręt zacznie odchylać się w płaszczyźnie x-y.

Nic lepszego nie przychodzi mi do głowy.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: janusz47 »

Przykładamy siłę ciężkości w środku koła. Co się zmieni ?
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: michalkl »

Uważam, że tylko wartość momentu siły pochodzącego od siły ciężkości. Kierunek momentu nadal jest w lewo.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: janusz47 »

Tak. Jest większa wartość momentu siły \(\displaystyle{ M }\) (zmieniłem literkę \(\displaystyle{ \tau }\) na \(\displaystyle{ M) }\), bo większa jest długość ramienia \(\displaystyle{ d. }\)

Jaki moment siły musimy przyłożyć do wirującego koła aby zmienić kierunek osi obrotu ?

Niech w chwili początkowej oś obrotu będzie skierowana wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox, }\) a prędkość kątowa koła koła po wprowadzeniu go w ruch obrotowy wynosi \(\displaystyle{ \omega_{0}.}\)

Zatem początkowy moment pędu jest skierowany wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox }\) i wynosi

\(\displaystyle{ \vec{L}_{0} = I\cdot \vec{\omega_{0}}. }\)

Załóżmy, że chcemy podnieść oś obrotu o pewien kąt \(\displaystyle{ \theta }\) w płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxz }\) w kierunku do \(\displaystyle{ Oy }\).

Co to oznacza? Oznacza to powstanie dodatkowego ruch obrotowego, przy czym zakładamy, że prędkość kątowa \(\displaystyle{ \omega }\) tego ruchu jest mała w stosunku do pierwotnej prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega_{0} }\) i moment pędu wirującego koła nie będzie zmieniał swojej wartości, a jedynie kierunek.

Przemieszcznie końca wektora \(\displaystyle{ \vec{L}_{0} }\) w czasie \(\displaystyle{ \Delta t }\) wynosi

\(\displaystyle{ \Delta L = L_{0} \cdot \theta = L_{0}\cdot \omega \cdot \Delta t.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{\Delta L}{\Delta t} = L_{0}\cdot \omega. }\)

Ale wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t} = \vec{M} }\) jest średnim momentem sił zewnętrznych. Moment ten powoduje zmianę wektora \(\displaystyle{ \vec{L_{0}} }\) ze średnią prędkością \(\displaystyle{ \frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t}. }\)

Wektor \(\displaystyle{ \frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t} }\) jest skierowany wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oz, }\) wektor \(\displaystyle{ \vec{L}_{0} }\) wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox, }\) a dodatkowa prędkość kątowa \(\displaystyle{ \vec{\omega} }\) wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oy }\)

Równanie wektorowe ma postać:

\(\displaystyle{ \vec{M} = \vec{\omega} \times \vec{L}_{0}.}\)

Jest to iloczyn wektorowy dodatkowej prędkości kątowej i początkowego momentu pędu.

Oznacza to, że wektor \(\displaystyle{ \vec{M} }\) ma kierunek osi \(\displaystyle{ Oz.}\)

Moment ten może być wywołany siłą przyłożoną do koła i skierowaną wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oz. }\)

Otrzymaliśmy więc następujący efekt. Jeśli do koła (ciała) wykonującego ruch obrotowy przyłożony jest moment siły \(\displaystyle{ \vec{M} }\) prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{L}_{0}, }\) to pod wpływem tego momentu nastąpi obrót koła w kierunku prostopadłym zarówno do wektora \(\displaystyle{ \vec{M} }\), jak i do wektora \(\displaystyle{ \vec{\omega}_{0}.}\)

Efekt ten nosi nazwę efektu żyroskopowego.

Jeśli moment sił zewnętrznych działa w sposób ciągły i wektor \(\displaystyle{ \vec{M} }\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{L} }\) , to wektor ten, a wraz z nim i oś symetrii wykonują w przestrzeni ruch, który nazywamy ruchem precesyjnym.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: janusz47 »

Człowiek, chcąc utrzymać pręt w płaszczyźnie pionowej musi przeciwdziałać efektowi żyroskopowemy, jeśli tego nie uczyni - pręt wychyli się w prawo względem tej płaszczyzny.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: janusz47 »

Michalki jesteś entuzjastą fizyki, starającym się zrozumieć jej zjawiska . Proponuję rozwiązać następujące zadanie dotyczące ruchu precesyjnego.

Zadanie
Proszę obliczyć prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega }\) cylindrycznego żyroskopu, jeśli wykonuje on jeden pełny obrót wokół własnej osi w czasie \(\displaystyle{ T = 4 s. }\) Wymiary żyroskopu jak na rysunku. Masę jego osi pomijamy. Przyjmujemy moment bezwładności walca względem osi \(\displaystyle{ I = mR^2, }\) wartość przyśpieszenia ziemskiego \(\displaystyle{ g = 9,81 \ \ \frac{m}{s^2}.}\)
Jaki jest kierunek \(\displaystyle{ \vec{\omega} ?}\)
Załączniki
Przekrój żyroskopu.jpg
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: janusz47 »

Rozwiązanie

Wartość chwilowa prędkości kątowej koła cylindryczego żyroskopu

\(\displaystyle{ \omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{\frac{dL}{L}}{dt} = \frac{dL}{dt}\cdot \frac{1}{L} = \frac{M}{L} \ \ (1)}\)

Wartość momentu siły

\(\displaystyle{ M = m\cdot g \cdot R \ \ (2)}\)

Wartość momentu bezwładności

\(\displaystyle{ L = I\cdot \Omega = m\cdot R^2\cdot \Omega \ \ (3) }\)

Podstawiamy równania \(\displaystyle{ (2), \ \ (3) }\) do równania \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ \omega = \frac{m\cdot g \cdot r }{m\cdot R^2\cdot \Omega} = \frac{g \cdot r }{R^2\cdot \Omega}.}\)

Po podstawieniu danych liczbowych

\(\displaystyle{ \omega = \frac{\left( 9,81 \frac{m}{s^2}\right) \cdot (2\cdot 10^{-2} m)}{(3\cdot 10^{-2} m)^2\cdot \left(\frac{ 2\pi}{4} \frac{rad}{s}\right)} \approx 139 \frac{rad}{s} = 1327 \frac{obr}{min}. }\)

Kierunek i zwrot wektora \(\displaystyle{ \vec{\omega} }\) jest taki sam jak wektora \(\displaystyle{ \vec{L}.}\)

Wniosek

Precesja kątowa \(\displaystyle{ \Omega }\) jest dużo mniejsza od prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega.}\) W tym zadaniu mamy doczynienia z powolną precesją.
michalkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 18 mar 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyrardów

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: michalkl »

Dziękuję za odpowiedzi. Do zadania jeszcze zajrzę później i się nad nim zastanowię.

Wcześniej nie patrzyłem się na to w ten sposób. Jeżeli potraktować \(\displaystyle{ \frac{\Delta \theta}{\Delta t} }\) jako \(\displaystyle{ \omega}\) (prędkość kątową precesji), to faktycznie daje to dodatkowe \(\displaystyle{ \Delta L}\) na prawo.

Zastanawia mnie jeszcze co jest źródłem tego momentu siły co daje \(\displaystyle{ \Delta L}\) na prawo. Zgodnie z wzorem \(\displaystyle{ \vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}}\), powinna być jakaś siła skierowana do góry względem osi pręta. Dobrze rozumuję, że źródłem tej siły jest sam człowiek?

Pozdrawiam
Michał
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Koło, moment siły i moment pędu

Post autor: janusz47 »

Dobrze.
ODPOWIEDZ