Na jakiej wysokości od podłogi należy przestrzelić owalną beczkę, aby ciecz wylewała się przez powstały otwór możliwie jak najdalej 
Dziura w beczce
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Dziura w beczce
Na jakiej wysokości od podłogi należy przestrzelić owalną beczkę, aby ciecz wylewała się przez powstały otwór możliwie jak najdalej -
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dziura w beczce
Określamy funkcję zasięgu ruchu ukośnego cieczy i wyznaczamy jej maksimum lokalne.
\(\displaystyle{ x(t) = v_{0}\cdot t \ \ (1) }\)
Prędkość początkową cieczy wyznaczamy z równania Torricellego:
\(\displaystyle{ v_{0} = \sqrt{2g\cdot h} \ \ (2) }\)
zaś czas jej wypływu z równania:
\(\displaystyle{ y = H - h = \frac{gt^2}{2} }\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} \ \ (3)}\)
Na podstawie równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\)
\(\displaystyle{ x(h) = \sqrt{2g\cdot h}\cdot \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} = 2\sqrt{h(H-h)}}\)
Badamy maksimum lokalne funkcji kwadratu odległości:
\(\displaystyle{ f(h) = x^2(h) = 4h(H-h) = -4h^2+4Hh = -4h(h - H) \ \ (4) }\)
Współrzędne wierzchołka wykresu paraboli \(\displaystyle{ (4) }\)
\(\displaystyle{ ( x*, y*) = \left(\frac{H}{2}, H^2\right )}\)
Należy umieścić na wysokości \(\displaystyle{ \frac{H}{2} }\) otwór w beczce, aby strumień cieczy wypływał w jak największej odległości od jej podstawy.
\(\displaystyle{ x(t) = v_{0}\cdot t \ \ (1) }\)
Prędkość początkową cieczy wyznaczamy z równania Torricellego:
\(\displaystyle{ v_{0} = \sqrt{2g\cdot h} \ \ (2) }\)
zaś czas jej wypływu z równania:
\(\displaystyle{ y = H - h = \frac{gt^2}{2} }\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} \ \ (3)}\)
Na podstawie równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\)
\(\displaystyle{ x(h) = \sqrt{2g\cdot h}\cdot \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} = 2\sqrt{h(H-h)}}\)
Badamy maksimum lokalne funkcji kwadratu odległości:
\(\displaystyle{ f(h) = x^2(h) = 4h(H-h) = -4h^2+4Hh = -4h(h - H) \ \ (4) }\)
Współrzędne wierzchołka wykresu paraboli \(\displaystyle{ (4) }\)
\(\displaystyle{ ( x*, y*) = \left(\frac{H}{2}, H^2\right )}\)
Należy umieścić na wysokości \(\displaystyle{ \frac{H}{2} }\) otwór w beczce, aby strumień cieczy wypływał w jak największej odległości od jej podstawy.