Matematyka.pl

Ciało o masie \(\displaystyle{ m=500}\)kg zostało zawieszone na końcu liny nawiniętej na bęben o średnicy \(\displaystyle{ d=40}\)cm, mogący obracać się bez tarcia wokół poziomej osi. Bęben ten jest sztywno połączony z drugim bębnem o średnicy \(\displaystyle{ D=50}\)cm, na który działa hamulec, składający się z dźwigni \(\displaystyle{ AB}\) i połączonego z nią klocka \(\displaystyle{ K}\). Dźwignia \(\displaystyle{ AB}\) może obracać się bez tarcia wokół punktu \(\displaystyle{ A}\), a do jej końca \(\displaystyle{ B}\) przyłożona jest pionowa siła \(\displaystyle{ P}\). Wyznaczyć, jaka musi być najmniejsza wartość tej siły aby zapobiec opuszczaniu się ciała przywiązanego na końcu liny. Współczynnik tarcia między klockiem a bębnem wynosi \(\displaystyle{ \mu=0,4}\). Wymiary dźwigni hamulca są następujące: \(\displaystyle{ l=60}\)cm,\(\displaystyle{ c=25}\)cm, \(\displaystyle{ b=5}\)cm. Ciężar własny dźwigni i klocka pominąć.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? W ogóle nie wiem jakie znaczenie ma wymiar \(\displaystyle{ b}\) tego klocka. Wydaje mi się on zupełnie nieistotny.

Siła \(\displaystyle{ P}\) działająca na dźwignię hamulca wywołuje nacisk \(\displaystyle{ N}\)klocka do bębna o średnicy \(\displaystyle{ D}\)
Między parą cierną klocek -bęben powstaje siła tarcia rozwiniętego \(\displaystyle{ T=\mu \cdot N}\)
Ciało pozostanie w spoczynku wtedy kiedy moment tarcia będzie większy od momentu obrotowego.

Układ złożony ciał.
Metoda postepowania to ich rozdzielenie i ujawnienie sił czynnych i biernych działających na dźwignię z zamocowanym na stałe klockiem oraz bęben. Z kolei rozpoznajemy układ sił i wypisujemy warunki równowagi(równań) osobno dla każdego ciała.
Wg treści zadania nie wymagane jest wyznaczenie reakcji w osi dźwigni i osi bębna.
P.S. Pana uwaga związana z wymiarem klocka
Wpływ ramienia \(\displaystyle{ b}\) na wartość siły hamującej eliminujemy przez wygięcie dźwigni. Hamulec działa jednakowo niezależnie od kierunku ruchu obrotowego bębna.

Aby ciężar \(\displaystyle{ G }\) nie opadał lecz utrzymywał się na pewnej wysokości należy wywołać nacisk \(\displaystyle{ N }\) klocka hamulcowego wskutek czego powstanie siła tarcia \(\displaystyle{ T }\)

Wartość tej siły \(\displaystyle{ T }\) (rys. 2) musi być taka, by jej moment wzglęem osi obrotu \(\displaystyle{ O }\) był równy momentowi jaki wywiera ciężar \(\displaystyle{ G }\) względem tejże osi.

Ponieważ koło hamulcowe pod działaniem siły \(\displaystyle{ G }\) usiłuje obracać w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara w lewo, więc siła tarcia \(\displaystyle{ T }\) będzie zwrócona w prawo.

Do równania momentu względem osi \(\displaystyle{ O }\) wejdzie tylko iloczyn siły tarcia \(\displaystyle{ T }\) prze ramię \(\displaystyle{ \frac{D}{2} }\) oraz \(\displaystyle{ G\cdot \frac{d}{2}, }\) bo moment siły \(\displaystyle{ N }\) względem punktu \(\displaystyle{ O }\) jak również i reakcji osi \(\displaystyle{ O }\) jest równy zero.

\(\displaystyle{ \sum M_{o} = -G\cdot \frac{d}{2} + T\cdot \frac{D}{2} = 0 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ T = G\cdot \frac{d}{D} \ \ (1) }\)

Ponieważ \(\displaystyle{ T = \mu\cdot N,}\) więc \(\displaystyle{ N = \frac{T}{\mu}\ \ (2) }\)

Na rysunku 2 przedstawiono siły \(\displaystyle{ N }\) i \(\displaystyle{ T }\) jakimi winien działać klocek na koło hamulcowe.

Oddziaływanie koła na klocek jest równe tym siłom lecz przeciwnie skierowane jak przedstawiono na rysunku 3.

Siła \(\displaystyle{ P }\) przyłożona do konca \(\displaystyle{ B }\) musi być tak wielka by wraz z siłami \(\displaystyle{ Q_{d} }\) i \(\displaystyle{ Q_{k}}\) wywołać siłę \(\displaystyle{ T, }\) która to siła ze względu na współczynnik tarcia \(\displaystyle{ \mu }\) powstaje, gdy działa siła \(\displaystyle{ N. }\)


\(\displaystyle{ \sum M_{iA} = N\cdot \frac{L}{2} - Q_{d} \cdot \frac{L}{2} - Q_{k} \cdot \frac{L}{2} - T\cdot b - P\cdot L = 0 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ P = \frac{\frac{L}{2}( -Q_{d} -Q_{k} + N) - T\cdot b}{L} }\)

Panie Januszu, czy aby dobrze określił Pan zwroty sił tarcia w parze ciernej- bęben, klocek hamulcowy.
Ponadto wypisane warunki równowagi i oznaczenia na "szkicu dźwigni", niezrozumiałe- wymagają korekty.
Z wyrazami szacunku

Zgodnie z rysunkiem.