kerajs pisze: ↑20 maja 2023, o 12:38
W zadaniu 11 napisano:
dla których równanie (kwadratowe)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste .
Pierwiastki wielomianów często liczy się z krotnościami, dlatego dobrze że w treści doprecyzowano, o co chodzi.
41421356 pisze: ↑17 maja 2023, o 13:09
Ja próbowałem przećwiczyć sobie nierówności pomiędzy średnimi na tym przykładzie, ale utknąłem na tym etapie:
\(\displaystyle{ x^2+\frac{4}{x^2}\geq 4}\)
\(\displaystyle{ x^4-4x^2\geq -4}\)
Dziwnie próbujesz, bo dla \(x=1\) (które ma być optymalne) nie masz równych składników.
Dla \(x\ne 0\):
\(\displaystyle{ \frac{x^4+x^2+1+1+1+1}{6}\ge\sqrt[6]{x^4x^2}}\)
Inny sposób: Wielomian \(f(x)=x^4+x^2-6x\) ma dwa pierwiastki rzeczywiste: \(x_1=0\) oraz \(x_2\in(1,2)\). Ujemne wartości są przyjmowane tylko pomiędzy \(x_1\) a \(x_2\). Dla \(x\) z tego przedziału mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=-\frac12(6-x-x^3)2x\ge-\left(\frac{\frac12(6-x-x^3)+2x}2\right)^2=-\frac1{16}\left(6+3x-x^3\right)^2}\)
Dla \(x\in[\sqrt3,x_2)\) jest \(6+3x-x^3\le6\) i \(f(x)\ge-\frac9{4}\), natomiast nas bardziej interesują \(x\in(x_1,\sqrt3)\) i mamy dla nich:
\(\displaystyle{ 6+3x-x^3=6+\frac12\cdot2x(3-x^2)\le6+\frac12\left(\frac{2x+3-x^2}2\right)^2}\)
Z tym ostatnim wyrażeniem już sobie dasz radę. Tak samo jak poprzednio, nie wiadomo jak na to wpaść, gdy nie zna się wcześniej wyniku. Szybciej to by poszło, gdybyśmy mieli rozkład wielomianu \(f\) na czynniki liniowe w liczbach rzeczywistych, ale na to nie ma szans.