Szczególnym przypadkiem ogólnej nierówności Hölder
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_H%C3%B6ldera#Uog%C3%B3lnienie
\(\displaystyle{ \Big\|\prod _{k=1}^{n}u_{k}\Big\|_{\displaystyle L^{1}(S)}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|u_{k}\|_{\displaystyle L^{p_{k}}(S)}}\) jest nierówność
\(\displaystyle{
\begin{split}
\prod_{k=1}^{n} \sqrt[n]{a_k^n+b_k^n} & =\prod _{k=1}^{n} \| \left( a_k,b_k\right) \|_{\displaystyle L^{n}(\NN)} \\
& \ge \Big\| \Big( \prod_{k=1}^{n} a_k,\prod_{k=1}^{n} b_k \Big) \Big\|_{\displaystyle L^{1}(\NN)} = \prod_{k=1}^na_k + \prod_{k=1}^nb_k.
\end{split}
}\)
Co innymi słowy oznacza, że
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^n(a_k+b_k)\geq\Bigg(\sqrt[n]{\prod_{k=1}^na_k}+\sqrt[n]{\prod_{k=1}^nb_k} \, \Bigg)^n.}\)
Rozwiązanie zadania 31 (przy dodatkowym założeniu, że
\(\displaystyle{ x,y}\) są jednego znaku) jest teraz jasne. Istotnie
\(\displaystyle{
(3x+y)(3y+x)= xy \left( 3+ \frac{x}{y} \right) \left( 3+ \frac{y}{x} \right) \ge xy\left( \sqrt{3^2} + \sqrt{ \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} } \right)^2 = 16xy.
}\)
Gdy,
\(\displaystyle{ x,y}\) są różnych znaków to wyrażenie
\(\displaystyle{ (3x+y)(3y+x) - 16xy}\) daje się zwinąć do pełnego kwadratu, mianowicie
\(\displaystyle{ 3(x-y)^2}\). Więc też działa.