Niech \(\displaystyle{ a,b,c:\NN \rightarrow \RR}\) będą ciągami liczbowymi, takimi, że \(\displaystyle{ a_n \le c _{n} \le b _{n}}\), dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) oraz \(\displaystyle{ a_n \rightarrow a \in \RR}\) i \(\displaystyle{ b _{n} \rightarrow a}\).
Pokażemy, że \(\displaystyle{ c_n \rightarrow a.}\)
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Wiemy, z topologii przestrzeni metrycznych (a przecież para \(\displaystyle{ \left( \RR, d \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest funkcją \(\displaystyle{ d:\RR \times \RR \rightarrow \RR,}\) daną jako: \(\displaystyle{ d\left( x,y\right)= \left| x-y\right|}\), taka para tworzy przestrzeń metryczną); ponieważ \(\displaystyle{ a_n \rightarrow a}\), to ciąg odległości względem tej metryki \(\displaystyle{ d_n:= d\left( a_n, a\right)}\) dąży do zera. Podobnie, ponieważ \(\displaystyle{ b_n \rightarrow a}\), to ciąg \(\displaystyle{ d' _{n}:= d\left( b_n, a\right)}\) dąży do zera. Pokażemy, że ciąg \(\displaystyle{ d''\left( n\right)= d\left( c_n,a\right)}\) dąży do zera.
Pokażemy najpierw, że: \(\displaystyle{ d\left( a_n, b_n\right) \rightarrow 0.}\)
Niech \(\displaystyle{ R \in \RR _{+}.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \frac{R}{2}>0}\),a ponieważ ciąg odległości \(\displaystyle{ d_n= d\left( a_n, a\right)}\) dąży do zera, to:
\(\displaystyle{ d_n= d\left( a_n, a\right)< \frac{R}{2}}\) (począwszy od pewnego numeru \(\displaystyle{ n}\));
i podobnie:
\(\displaystyle{ d'(n)= d \left( b_n,a\right) < \frac{R}{2}.}\)
A zatem, z nierówności trójkąta dla przestrzeni metrycznych, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ d(a_n,a ) +d\left( b_n, a\right) = d\left( a_n,a\right)+ d\left( a,b_n\right) \ge d\left( a_n, b_n\right),}\) czyli:
\(\displaystyle{ d\left( a_n, b_n\right) \le d\left( a_n, a\right)+ d\left( b_n, a\right)< \frac{R}{2}+ \frac{R}{2}= R;}\)
i, z dowolności wyboru liczby \(\displaystyle{ R>0,}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ d\left( a_n, b_n\right) \rightarrow 0. }\)
A zatem, ponieważ mamy zawsze (na mocy naszego założenia) \(\displaystyle{ c _{n} \le b_n}\), to również \(\displaystyle{ d\left( c_n, a_n\right) \le d\left( a_n, b_n\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ d\left( a_n, b_n\right) \rightarrow 0, y=d\left( c_n, a_n\right)}\) jest ciągiem o wartościach nieujemnych, a stąd \(\displaystyle{ d\left( c_n, a_n\right) \rightarrow 0.}\)
W podobny sposób uzasadniamy, że \(\displaystyle{ d\left( c_n, b_n\right) \rightarrow 0}\).
A zatem, aby pokazać, że \(\displaystyle{ d\left( c_n,a\right) \rightarrow 0}\), to niech \(\displaystyle{ R>0}\).
Wtedy: \(\displaystyle{ \frac{R}{2}>0}\), a zatem:
\(\displaystyle{ d\left( c_n, a\right) \le d\left( c_n, a_n\right) + d\left( a_n,a\right) \le \frac{R}{2}+ \frac{R}{2}= R}\);
gdzie pierwsza nierówność wynika z warunku trójkąta dla przestrzeni metrycznych, a druga nierówność wynika z tego, że: \(\displaystyle{ d\left( c_n, a_n\right) \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ d\left( a_n,a\right) \rightarrow 0}\). A zatem:
\(\displaystyle{ d\left( c_n, a\right) \le R}\); i, z dowolności wyboru liczby \(\displaystyle{ R>0,}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ d\left( c_n, a\right) \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ c_n \rightarrow a.\square}\)
