Miara każdego kąta sześciokąta \(\displaystyle{ ABCDEF}\) jest równa \(\displaystyle{ 120^\circ}\). Udowodnić, że symetralne odcinków \(\displaystyle{ AB,CD,EF}\) przecinają się w jednym punkcie.
Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania:
Punkt wspólny prostych \(\displaystyle{ AF,BC}\) nazwijmy \(\displaystyle{ G}\), punkt wspólny prostych \(\displaystyle{ BC,DE}\) nazwijmy \(\displaystyle{ H}\), punkt wspólny prostych \(\displaystyle{ DE,AF}\) nazwijmy \(\displaystyle{ I}\). Kąt \(\displaystyle{ GAB}\) oraz \(\displaystyle{ GBA}\) są równe \(\displaystyle{ 60^\circ}\), zatem trójkąt \(\displaystyle{ GAB}\) jest równoboczny. Środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\) nazwijmy \(\displaystyle{ J}\). Półprosta \(\displaystyle{ GJ}\) jest zatem dwusieczną kąta \(\displaystyle{ AGB}\). Środek odcinka \(\displaystyle{ CD}\) nazwijmy \(\displaystyle{ K}\), a środek odcinka \(\displaystyle{ EF}\) nazwijmy \(\displaystyle{ L}\). Analogicznie można wykazać, że półproste \(\displaystyle{ HK}\) oraz \(\displaystyle{ LI}\) są dwusiecznymi kątów \(\displaystyle{ CHD}\) i \(\displaystyle{ EIF}\). Zatem w trójkącie \(\displaystyle{ GHI}\) półproste \(\displaystyle{ GJ,HK,IL}\) są dwusiecznymi, a jak wiadomo w każdym trójkącie dwusieczne przecinają się w jednym punkcie.
Dobrze?