Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ SBCD}\), w którym
\(\displaystyle{ AD+BC=CD}\).
Udowodnić, że dwusieczne kątów \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ CDA}\) oraz symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\) przecinają się w jednym punkcie.
Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania:
Na boku \(\displaystyle{ CD}\) zaznaczmy punkt \(\displaystyle{ E}\) taki, że \(\displaystyle{ AD=DE}\), co wymusza też, że \(\displaystyle{ CE=BC}\). Środek odcinka \(\displaystyle{ AE}\) oznaczmy \(\displaystyle{ F}\) i środek odcinka \(\displaystyle{ BE}\) oznaczmy \(\displaystyle{ G}\). Zauważmy z cechy \(\displaystyle{ bkb}\), że trójkąty \(\displaystyle{ ADF}\) i \(\displaystyle{ DEF}\) są przystające oraz analogicznie przystające są trójkąty \(\displaystyle{ CEG}\) i \(\displaystyle{ CBG}\). Popatrzmy teraz na trójkąt \(\displaystyle{ ABE}\). Proste \(\displaystyle{ DF}\), \(\displaystyle{ CG}\) są symetralnymi boków odpowiednio \(\displaystyle{ AE}\) oraz \(\displaystyle{ BE}\), zatem razem z symetralną boku \(\displaystyle{ AB}\) otrzymujemy, że te trzy symetralne przecinają się w jednym punkcie, gdyż tak jest w każdym trójkącie.
Dobrze?