Inna metoda znajdowania ułamków prostych.
Np. ułamek : \(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{ x - 2 } \,\,\,}\) ;
Poniższa metoda pozwoli na znajdowanie odpowiednich ułamków prostych przez wykonanie pewnych działań w pamięci.
W przykładzie, należy znaleźć takie liczby A i B , dla których:
\(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} \equiv \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{ x - 2 } \,\,\,}\) ;
Powyższa równoważność oznacza, że \(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{ ( x - 2 )} \equiv A + \frac{B \, ( x + 1 )}{ x - 2 } \,\,\,}\) - ( równoważność wyjściowa pomnożona przez \(\displaystyle{ \,\,\, ( x + 1 )) \,\,}\) ;
Podstawiając teraz za "x" dowolną liczbę, z wyjątkiem 2 ( w tym przypadku ), musimy otrzymać dokładnie takie same liczby po prawej i po lewej stronie.
Wybieramy podstawienie \(\displaystyle{ \,\,\, x = -1 \,\,}\) , i otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{-9}{-3} = A \,\,\,}\) czyli \(\displaystyle{ \,\,\, A = 3 \,\,}\).
Aby znaleźć wartość B, mnożymy wyjściową równoważność przez \(\displaystyle{ \,\,\, ( x - 2 ) \,\,\,}\), a następnie podstawiamy \(\displaystyle{ \,\,\, x = 2 \,\,\,}\).
Otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, B = \frac{8 - 5}{2 + 1} = 1}\).
Zasada jest następująca: zakryj w podanym ułamku nawias ( x - 2 ), a następnie w ułamku, który widać po tym zakryciu, za x podstaw 2 . W ten sposób otrzymujemy licznik ułamka prostego o mianowniku ( x - 2 ).
Przykład:
Ułamek \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \,\,\,}\) przedstaw w postaci ułamków prostych.
Na początku piszemy:
\(\displaystyle{ \,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{}{x} + \frac{}{x + 2} + \frac{}{x - 3}}\)
Zakrywamy teraz czynnik x w mianowniku ułamka i do reszty podstawiamy ( x = 0 ). W wyniku otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\,\, \frac{-18}{2 \cdot (-3)} = 3 \,\,\,}\).
Liczbę 3 zapisujemy w liczniku nad x z prawej strony powyższej równoważności.
Następnie zakrywamy czynnik ( x + 2 ) i podstawiamy ( x = -2 ) ; wynik: \(\displaystyle{ \,\,\,\frac{16 + 22 - 18}{( -2 ) \cdot ( -5 )} = \frac{20}{10} = 2 \,\,\,}\) - jest drugim licznikiem, którego poszukiwaliśmy.
Trzeci jest równy -1.
Końcowy rozkład jest następujący:
\(\displaystyle{ \,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 2} + \frac{-1}{x - 3}}\).
Jeżeli chcemy sprawdzić, czy dobrze wykonaliśmy rozkład, za x podstawiamy jakąkolwiek liczbę, z wyjątkiem tych, które już wykorzystaliśmy, np. \(\displaystyle{ \,\,\, x = 2 \rightarrow 3 = 3}\).
PS.
Metoda zaczerpnięta z podręcznika: " Matematyka w szkole średniej" T - 3, w przekładzie z jęz. angielskiego Wojciecha Jędrychowskiego.
WSiP W-wa 1988.
Ułamki proste - wystarczy zakryć.
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 15 kwie 2012, o 22:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów
- Pomógł: 15 razy
Ułamki proste - wystarczy zakryć.
Ta sama metoda jest również pokazana w I tomie zbioru maturalnego Andrzeja Kiełbasy w dziale z wielomianami. Jest tam też parę przykładów do jej przećwiczenia. Fajnie, że Ci się chce wstawiać takie rzeczy.
-
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 27 paź 2013, o 10:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 24 razy
Ułamki proste - wystarczy zakryć.
Jak działa ta metoda na takim przykładzie? Bo chyba czegoś nie rozumiem.
b) \(\displaystyle{ \frac{x+9}{x(x+3)^2} = \frac{}{x} + \frac{}{(x+3)} + \frac{}{(x+3)^2}}\)
nie wychodzi mi to zerowanie bo jak podstawiam x=-3 to oba ułamki mi się zerują
c) \(\displaystyle{ \frac{3x^2+4x+3}{x^3-x^2+4x-4}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{x+9}{x(x+3)^2} = \frac{}{x} + \frac{}{(x+3)} + \frac{}{(x+3)^2}}\)
nie wychodzi mi to zerowanie bo jak podstawiam x=-3 to oba ułamki mi się zerują
c) \(\displaystyle{ \frac{3x^2+4x+3}{x^3-x^2+4x-4}}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Ułamki proste - wystarczy zakryć.
W takich przypadkach możesz wstawić dowolną nieużywaną jeszcze wartość
Oczywiście dużo nie zyskasz w stosunku do metody z porównywaniem wielomianów w liczniku
w tym przypadku
Wyżej wspomniana metoda najlepiej sprawdza się w przypadku gdy pierwiastki mianownika
są rzeczywiste i różne
Oczywiście dużo nie zyskasz w stosunku do metody z porównywaniem wielomianów w liczniku
w tym przypadku
Wyżej wspomniana metoda najlepiej sprawdza się w przypadku gdy pierwiastki mianownika
są rzeczywiste i różne
-
- Użytkownik
- Posty: 708
- Rejestracja: 24 mar 2014, o 19:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toronto
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 73 razy
Re: Ułamki proste - wystarczy zakryć.
Mnożąc obie strony przez wspólny mianownik otrzymamy:
\(\displaystyle{ x+9 \equiv A(x+3)^2 + Bx(x+3) + Cx}\) (*)
teraz w miejsce \(\displaystyle{ x }\) podstawiamy kolejne pierwiastki mianownika:
\(\displaystyle{ x = -3 \Rightarrow 6 = -3C \Rightarrow C =-2\\
x = 0 \Rightarrow 9 = 9A \Rightarrow A = 1}\)
Aby obliczyć pozostały współczynnik B możemy porównać współczynniki przy \(\displaystyle{ x^2}\) po obu stronach tożsamości (*)
\(\displaystyle{ 0 = A + B \Rightarrow B = -A = -1}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ \frac{x+9}{x(x+3)^2} = \frac{1}{x} + \frac{-1}{(x+3)} + \frac{-2}{(x+3)^2}}\)
Ta metoda jest też zaprezentowana w Analizie matematycznej w zadaniach - W.Krysicki, L.Włodarski w części 2, ja zatrzymałem się na wyd.VI ale w późniejszych na pewno też ją można znaleźć.