Matematyka.pl

Cześć. Jak pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych ( \(\displaystyle{ \in \ZZ}\)) w postaci \(\displaystyle{ p=3k+1}\)?

Posłuż się tą metodą, którą w swym dowodzie zastosował Euler, znasz ją?
On mówił o zbiorze wszystkich L. pierwszych, zaś Ty masz "wybrane", ale zasada jego dowodu da się zastosować bez większej umysłowej gimnastyki.

Na marginesie sobie zapisałam, żeby skorzystać z tw. Dirichleta.

Moja rada z Eulerem była błędna, ale i Dirichlet tu nie pasuje, wszak w jego twierdzeniu stoi:

\(\displaystyle{ p = a + nq}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) zmienne, zaś \(\displaystyle{ a}\) jest względnie pierwsze wobec \(\displaystyle{ q}\)

jedynka dzieli wszystkie liczby, w tym nawet i pierwsze, więc Twój ciąg — ciągiem Dirichleta nie jest!

Tak, czy siak ten szereg ma możność produkowania L. pierwszych tylko dla \(\displaystyle{ k}\) parzystych, dostrzegasz to?
Czyli możesz go przerobić na zbiór jego co drugiego wyrazu:
\(\displaystyle{ p=6k+1}\)
no a wiadomo, że L. pierwsze większe od \(\displaystyle{ 3}\) — zawsze sąsiadują z liczbą podzielną przez 6, albo z lewej, albo z jej prawej strony.

@c-rasz. Bredzisz od rzeczy.

aga_ata1 pisze: ↑27 maja 2024, o 08:41 Na marginesie sobie zapisałam, żeby skorzystać z tw. Dirichleta.

To jest dobry pomysł. Jednak to jest potencjalnie armata na wróbla.

Janusz Tracz pisze: ↑27 maja 2024, o 11:00 @c-rasz. Bredzisz od rzeczy.

Udowodnij twierdzenie...

c-rasz pisze: ↑27 maja 2024, o 08:53Moja rada z Eulerem była błędna, ale i Dirichlet tu nie pasuje, wszak w jego twierdzeniu stoi:

\(\displaystyle{ p = a + nq}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) zmienne, zaś \(\displaystyle{ a}\) jest względnie pierwsze wobec \(\displaystyle{ q}\)

jedynka dzieli wszystkie liczby, w tym nawet i pierwsze, więc Twój ciąg — ciągiem Dirichleta nie jest!

czy możesz podać definicję ciągu Dirichleta?

w każdym ciągu arytmetycznym postaci \(\displaystyle{ a + qn}\) (\(\displaystyle{ n= 0, 1, 2, ...}\))
występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a}\) jest względnie pierwsze wobec \(\displaystyle{ q}\)

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Dirichleta_o_liczbach_pierwszych

Czyli uważasz, że `1` i `3` nie sa względnie pierwsze??? Intrygujący przypadek

Czy uważasz, że \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 1}\)?

Dodano po 7 minutach 23 sekundach:
Jeżeli liczby \(\displaystyle{ a; b}\) mają być względnie pierwsze
to nie tylko, jak w szkolnej definicji, nie mają wspólnych podzielników różnych od \(\displaystyle{ 1}\)
ale dla \(\displaystyle{ a > b}\) w zbiorze liczb naturalnych nie zachodzi \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)
natomiast \(\displaystyle{ \frac{3}{1}}\) jest jak najbardziej liczbą naturalną...

Czy jest lekarz na forum?

c-rasz pisze: ↑27 maja 2024, o 19:10Jeżeli liczby \(\displaystyle{ a; b}\) mają być względnie pierwsze
to nie tylko, jak w szkolnej definicji, nie mają wspólnych podzielników różnych od \(\displaystyle{ 1}\)
ale dla \(\displaystyle{ a > b}\) w zbiorze liczb naturalnych nie zachodzi \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)
natomiast \(\displaystyle{ \frac{3}{1}}\) jest jak najbardziej liczbą naturalną...

Widzę, że tworzysz własną teorię liczb. Dopóki robisz to na swój użytek - Twoja sprawa. Ponieważ jednak Twoje wpisy mogą wprowadzać kogoś w błąd, więc stwierdzę wyraźnie, że największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ 1}\), więc są to liczby względnie pierwsze (jak zresztą nietrudno zauważyć, każda liczba naturalna dodatnia jest względnie pierwsza z jedynką).

JK

Tak jak sugerował wyżej c-rasz, można skopiować starożytny dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Mamy jakieś liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_i}\) dające resztę z dzielenia przez trzy równą jeden, patrzymy na iloczyn \(\displaystyle{ x = 3p_1p_2\cdot\ldots\cdotp_n}\) i \(\displaystyle{ t = x^2+x+1}\). (Żadna z liczb pierwszych, które wypisałam wcześniej, w tym 3, nie dzieli \(\displaystyle{ t}\). Jeżeli \(\displaystyle{ t}\) jest pierwsza, to koniec dowodu. W przeciwnym razie niech \(\displaystyle{ p}\) będzie dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ t}\). Wtedy \(\displaystyle{ p \nmid x}\) i z małego twierdzenia Fermata mamy \(\displaystyle{ x^{p-1} \equiv 1 \mod p}\). W kolejnym kroku pokazuje się, że \(\displaystyle{ x^3 \equiv 1 \mod p}\). Zatem rząd \(\displaystyle{ x}\) w grupie multiplikatywnej reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\) wynosi co najwyżej trzy. Oczywiście nie może wynosić dwa, a jak się przekonamy za chwilę, nie może też wynosić jeden.

Gdyby \(\displaystyle{ x \equiv 1 \mod p}\), to \(\displaystyle{ t \equiv 3 \mod p}\) ORAZ \(\displaystyle{ t \equiv 0 \mod p}\), a wtedy \(\displaystyle{ p}\) dzieliłoby też różnicę dwóch stron, czyli \(\displaystyle{ 3}\). Ale wiemy, że \(\displaystyle{ p \neq 3}\). Zatem rząd \(\displaystyle{ x}\) modulo \(\displaystyle{ p}\) wynosi dokładnie trzy.

Pokazaliśmy, że \(\displaystyle{ 3 \mid (p-1)}\), ale to jest to samo, co powiedzieć, że \(\displaystyle{ p}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3r + 1}\). Koniec.

Jan Kraszewski pisze: ↑27 maja 2024, o 20:33 (...) stwierdzę wyraźnie, że największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ 1}\), więc są to liczby względnie pierwsze (jak zresztą nietrudno zauważyć, każda liczba naturalna dodatnia jest względnie pierwsza z jedynką).

Używanie jedynki w kontekście ciągów Dirichleta niebezpiecznie wypacza jego myśl.
Istotną rzeczą w użytym tam określeniu "liczby względnie pierwsze" jest sama definicja pierwszości
Jedynka nie jest ani liczbą złożoną, ani pierwszą, mówi się o niej w tym kontekście, że jest liczbą specjalną.

Nie przeczę nigdzie, iż podany w topic'u ciąg będzie generował nieskończenie wiele liczb pierwszych. Ba! Sam to wskazałem powyżej. Lecz używając jedynki jako elementu w wybranym (arbitralnie. No bo tak to się robi!) przykładzie ciągu Dirichleta grozi tym, że wyląduje się w malinach, dlatego powinno się takich sytuacji wyjątkowych unikać, o ile się da, i nie odwoływać się do Dirichleta, gdy jakieś w tym aspekcie wątpliwości są. Dowodzenie, a o nie chodzi, nie powinno budzić żadnych wątpliwości...

Hir pisze: ↑27 maja 2024, o 21:06 Tak jak sugerował wyżej c-rasz, można skopiować starożytny dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Bez bicia przyznaję się do pomyłki co do dowodu, który miałem na myśli: chodziło mi faktycznie o dowód antyczny, Euklidesa, a nie Eulera. Zgromadzoną tu publiczność za swą pomyłkę przepraszam

c-rasz pisze: ↑28 maja 2024, o 00:16Używanie jedynki w kontekście ciągów Dirichleta niebezpiecznie wypacza jego myśl.
Istotną rzeczą w użytym tam określeniu "liczby względnie pierwsze" jest sama definicja pierwszości
Jedynka nie jest ani liczbą złożoną, ani pierwszą, mówi się o niej w tym kontekście, że jest liczbą specjalną.

Filozofię możesz uprawiać w "Dyskusjach o matematyce". Istotną rzeczą w określeniu liczby względnie pierwsze jest jego definicja: liczby, których największy wspólny dzielnik to jeden. I nie ma tu żadnych wątpliwości ani sytuacji wyjątkowych.

JK