Matematyka.pl

Właśnie przeglądam dowód Eulera, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele i paru kroków nie rozumiem. Rozumiem, że jak pokażemy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n} }\) jest rozbieżny to z tego będzie wynikać, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Tylko nie rozumiem, że jak pokażemy, że \(\displaystyle{ \lambda(n)= \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{1- \frac{1}{p_i} } =\infty }\) to z tego wynika, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n} }\) jest rozbieżny. Może mi to ktoś wyjaśnić?

a nie o równoważnosci zbieżnosci iloczynu i sumy \(\displaystyle{ \prod_{n} (1+a_n)}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n} a_n}\) ...

Nie potrzeba takich narzędzi. Iloczyn skończonej ilości niezerowych liczb jest przecież skończony, więc jego rozbieżność świadczy o nieskończonej ilości czynników..

\(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{1}{p}} > 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2}+ \ \ ... + \ \ \frac{1}{p^{n}} }\)

\(\displaystyle{ \prod_{p\in P_{n}} \frac{1}{1- \frac{1}{p}} > \prod_{p\in P_{n}} \sum_{n=1}^{n} \frac{1}{p} = \prod_{p\in P_{n}} \left(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \ \ ... \ \ +\frac{1}{p^{n}} \right) = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}. }\)

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} > \ln n + \frac{1}{n} > \ln n }\)

\(\displaystyle{ \prod_{p\in P_n} \frac{1}{1-p} > \ln n }\)

\(\displaystyle{ \sum_{p\in P_n} \ln\left( \frac{1}{1-p} \right) > \ln \ln n }\)

Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -\ln (1-x) }\) jest wypukły, \(\displaystyle{ \left ( f'(x) = \frac{1}{1-x}, \ \ f''(x) = \frac{1}{1-x^2}> 0,\right) }\) dla \(\displaystyle{ x<1.}\) (Rys.)

\(\displaystyle{ 2\ln(2)x > \ln\left(\frac{1}{1-x}\right) }\)

\(\displaystyle{ \ln 2 \approx 0,69315 < \frac{7}{10}.}\)

\(\displaystyle{ x > \frac{5}{7} \ln\left( \frac{1}{1-x}\right) }\)

dla

\(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}, \ \ x = \frac{1}{3}, \ \ x = \frac{1}{5}, \ \ ..., }\)

\(\displaystyle{ \sum_{p\in P_n} \frac{1}{p} > \frac{5}{7}\left(\sum_{p\in P_n} \frac{1}{1+\frac{1}{p}}\right) }\)

\(\displaystyle{ \sum_{p\in P_{n}} \frac{1}{p} > \frac{5}{7}\ln \ln n. }\)

Gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\) prawa strona dąży do nieskończoności, więc i lewa strona dąży do nieskończoności.

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} }\) jest rozbieżny.

Może mi ktoś powiedzieć jak z tego \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{1- \frac{1}{p_i} } =\infty}\) wynika, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n}}\) jest rozbieżny?

Oznaczmy
\(\displaystyle{ P(x)=\prod_{p\le x} \frac{1}{1-1/p},\ S(x)=\sum_{p\le x}\frac1p}\)
Mamy dla `0<u<1`
\(\displaystyle{ \log\frac1{1-u}=u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}+\frac{u^4}{4}+\dots}\)
wiec
\(\displaystyle{ \log\frac1{1-u}-u=\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}+\frac{u^4}{4}+\dots<\frac12\left(u^2+u^3+...\right)=\frac12\frac{u^2}{1-u}}\)

Podstawiając `u=1/p` i sumując po `p\le x` dostajemy
\(\displaystyle{ \log P(x)-S(x)<\frac12\sum_{p\le x}\frac{1}{p(p-1)}>\frac12\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}=\frac12}\),
a to oznacza, że `S(x)>\log P(x)-1/2`

Dodano po 12 minutach 16 sekundach:

janusz47 pisze: ↑3 gru 2023, o 19:35 \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{1}{p}} > 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2}+ \ \ ... + \ \ \frac{1}{p^{n}} }\)

\(\displaystyle{ \prod_{p\in P_{n}} \frac{1}{1- \frac{1}{p}} > \prod_{p\in P_{n}} \red{\sum_{n=1}^{n}} \frac{1}{p} = \prod_{p\in P_{n}} \left(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \ \ ... \ \ +\frac{1}{p^{n}} \right) = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}. }\)

Bez wyjaśnienia czym jest `P_n` te zapisy nie mają sensu. W szczególności nie wiadomo skąd bierze się ostatnia równość. A czerwona suma wygląda dość kuriozalnie.

Reszta to drobiazgi (choć irytujące)

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} > \ln n + \frac{1}{n} > \ln n }\)

Dla `n=1` też?

(...)

Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -\ln (1-x) }\) jest wypukły, \(\displaystyle{ \left ( f'(x) = \frac{1}{1-x}, \ \ f''(x) = \frac{1}{1-x^2}> 0,\right) }\) dla \(\displaystyle{ x<1.}\) (Rys.)

Czy ten rysunek ma być uzasadnieniem dla błędnego policzenia drugiej pochodnej?

Dodano po 2 minutach 50 sekundach:

max123321 pisze: ↑3 gru 2023, o 02:17 Właśnie przeglądam dowód Eulera, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele i paru kroków nie rozumiem. Rozumiem, że jak pokażemy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n} }\) jest rozbieżny to z tego będzie wynikać, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Tylko nie rozumiem, że jak pokażemy, że \(\displaystyle{ \lambda(n)= \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{1- \frac{1}{p_i} } =\infty }\) to z tego wynika, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n} }\) jest rozbieżny. Może mi to ktoś wyjaśnić?

Oznaczanie przez `\lambda(n)` czegoś, co od `n` nie zależy nie wygląda dobrze.