Matematyka.pl

Witam.
Natrafiłem na takie zadanie w internecie:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(\displaystyle{ \left| x^{2} + 2x-3\right|=m }\) jest liczbą dodatnią.

Odpowiedzią która wynika z wykresu to \(\displaystyle{ m \in (0;3) \cup \{4\} }\). Jednak jak podstawie do równania \(\displaystyle{ m=4}\) to otrzymam równanie z wartością bezwzględną, przez wzory viete'a mogę ustalic, że z jednego przypadku iloczyn pierwiastków to \(\displaystyle{ -7}\), a z drugiego otrzymam podwójny pierwiastek.
Wtedy iloczyn byłby ujemny.

Zatem jaka odpowiedź będzie prawidłową? Nie wiem czy brać pod uwagę \(\displaystyle{ m=4}\).
Jeśli latex nie zadziałał, to bardzo przepraszam, pierwszy raz to robię.
Pozdrawiam

Kuba291163916291 pisze: 27 sty 2026, o 19:57 Odpowiedzią która wynika z wykresu to \(\displaystyle{ m \in (0;3) \cup \{4\} }\).

Zgadza się.

Kuba291163916291 pisze: 27 sty 2026, o 19:57Jednak jak podstawie do równania \(\displaystyle{ m=4}\) to otrzymam równanie z wartością bezwzględną, przez wzory viete'a mogę ustalic, że z jednego przypadku iloczyn pierwiastków to \(\displaystyle{ -7}\), a z drugiego otrzymam podwójny pierwiastek.

Z drugiego przypadku otrzymasz jedno ujemne rozwiązanie. Ostatecznie zatem będą trzy rozwiązania: dwa ujemne i jedno dodatnie, czyli pasuje, bo iloczyn będzie dodatni.

JK

Dziękuje bardzo w takim razie.
Sądziłem, że w takim razie muszę podwójnie pomnożyć ten dwukrotny pierwiastek (tzn \(\displaystyle{ -7 \cdot (-1) \cdot (-1)}\)).
Niezwykle dziękuje

Dodano po 1 godzinie 4 minutach 4 sekundach:
Tak jeszcze dopytam... może prozaiczne pytanie, ale nie umiem odpowiedzieć samemu sobie.
Dlaczego biorę tylko jeden pierwiastek -1, a nie dwa? W końcu jest dwukrotny

Kuba291163916291 pisze: 27 sty 2026, o 21:22 Tak jeszcze dopytam... może prozaiczne pytanie, ale nie umiem odpowiedzieć samemu sobie.
Dlaczego biorę tylko jeden pierwiastek -1, a nie dwa? W końcu jest dwukrotny

Ale Ty nie szukasz pierwiastków wielomianu z krotnościami, tylko rozwiązujesz równanie. A równanie \(\displaystyle{ \left| x^{2} + 2x-3\right|=4 }\) ma dokładnie trzy rozwiązania (bardziej formalnie: zbiór rozwiązań tego równania jest trzyelementowy: \(\displaystyle{ \{-1-2\sqrt2, -1, -1+2\sqrt2\}}\)).

JK