Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.1)

Wszystko, co chcielibyście wiedzieć o studiowaniu: co wybrać? jakie są warunki przyjęć? życie studenckie? Zajrzyjcie tutaj!
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz

Post autor: Jakub Gurak »

Ja też jakoś nie mam ochoty na ten sposób.

Wykazałem, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\) jest mocy continuum. Rozważmy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb {Y} \subset \mathbb {X},}\) złożoną z tych podzbiorów \(\displaystyle{ \NN}\), które należą do \(\displaystyle{ \mathbb{X},}\) i do których należy \(\displaystyle{ 0.}\) Wtedy rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{Y},}\) I jej uzupełnienie \(\displaystyle{ \mathbb {X} \setminus \mathbb {Y}}\) złożoną z tych podzbiorów \(\displaystyle{ \NN}\) należących do \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\) do których nie należy \(\displaystyle{ 0}\) są równoliczne. Mówiąc prościej rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\) podzieliliśmy na dwie podrodziny: \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\)- złożoną z tych podzbiorów \(\displaystyle{ \NN}\) do których należy \(\displaystyle{ 0,}\) I rodzinę podzbiorów pozostałych do których \(\displaystyle{ 0}\) nie należy. Oczywiście takie dwie rodziny są równoliczne. Gdyby miały moc mniejszą od continuum (oczywiście taka moc musi być nieskończona, inaczej mielibyśmy sumę dwóch zbiorów skończonych, czyli \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\) byłaby skończona, a ma moc continuum ),to ich suma również byłaby tej mocy, a więc mocy mniejszej od continuum, a ta suma to rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{X},}\) mocy continuum- sprzeczność. Zatem rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\) również ma moc continuum.

Niech \(\displaystyle{ A \in \mathbb {Y}.}\) Wtedy podobnie jak wcześniej tworzymy rozkład \(\displaystyle{ \NN}\) na \(\displaystyle{ \left\{ A,\NN \setminus A \right\}}\) dwa zbiory równoliczne (przeliczalne). Określamy relację równoważności \(\displaystyle{ \approx _{A}}\) związaną z tym rozkładem. Wtedy zbiorem wszystkich klas równoważności jest właśnie ten rozkład \(\displaystyle{ \left\{ A, \NN \setminus A\right\}.}\) Są to dwa zbiory równoliczne, zatem jest to relacja równoważności sprawiedliwa.

Należy teraz pokazać, że takie przypisanie jest różnowartościowe. Niech \(\displaystyle{ A,B \in \mathbb {Y}}\) będą różne. Wtedy z okreslenia rodziny \(\displaystyle{ Y}\) mamy \(\displaystyle{ 0 \in A,0 \in B.}\) Popatrzmy na rodziny \(\displaystyle{ \left\{ A,\NN \setminus A \right\}; \ \left\{ B,\NN \setminus B \right\}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \in B,}\) to \(\displaystyle{ 0 \notin \NN \setminus B}\), mamy \(\displaystyle{ 0 \in A}\), zatem \(\displaystyle{ A \neq \NN \setminus B}\), mamy też \(\displaystyle{ A \neq B,}\) zatem \(\displaystyle{ \left\{ A,\NN \setminus A\right\} \neq \left\{ B,\NN \setminus B \right\}.}\) Popatrzmy na relacje równoważności \(\displaystyle{ \approx _{A} , \approx _{B}.}\) Wiemy, że zbiorami wszystkich klas równoważności są właśnie te rozkłady. Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq B}\) to istnieje \(\displaystyle{ n}\) naturalne, takie że \(\displaystyle{ n \in A}\) i \(\displaystyle{ n \notin B}\)(lub \(\displaystyle{ n\notin A, n\in B}\)). Zajmijmy się pierwszym przypadkiem. Wtedy (ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest klasą równoważności relacji \(\displaystyle{ \approx_{A}}\), więc każde dwa jej elementy są w relacji ), w związku z czym \(\displaystyle{ 0 \approx_{A} n,}\), a ponieważ \(\displaystyle{ n \notin B,0 \in B}\), więc \(\displaystyle{ 0 \not\approx _{B} n}\) (bo \(\displaystyle{ B}\) jest klasą równoważności relacji \(\displaystyle{ \approx _{B}}\), \(\displaystyle{ 0}\) może być jej reprezentantem, gdyby więc 0 i n były w relacji, to mielibyśmy \(\displaystyle{ n \in B}\)- sprzeczność.) Zatem \(\displaystyle{ 0 \approx _{A} n}\) i \(\displaystyle{ 0 \not\approx _{B} n}\), a zatem \(\displaystyle{ \approx _{A} \neq \approx _{B}.}\)(drugi przypadek jest analogiczny ).

Zatem jest to przypisanie różnowartościowe. Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ Y}\) ma moc continuum, więc jest co najmniej continuum relacji równoważności sprawiedliwych. Nie może być ich więcej, bo relacją równoważności na \(\displaystyle{ \NN,}\) to formalnie podzbiór \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\), a podzbiorów \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\), jest tyle co elementów \(\displaystyle{ P\left(\NN\right),}\) a więc continuum. Zatem nie może być ich więcej, twierdzenie Cantora-Bernsteina gwarantuje że relacji równoważności sprawiedliwych jest dokładnie continuum.\(\displaystyle{ \square}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze:Oczywiście takie dwie rodziny są równoliczne.
Czasem dowodzisz wszystko nawet przesadnie szczegółowo, a czasem piszesz "oczywiście"...
Jakub Gurak pisze:Gdyby miały moc mniejszą od continuum, to ich suma również byłaby tej mocy,
No cóż, kolejne stwierdzenie bez uzasadnienia.
Jakub Gurak pisze:Popatrzmy na relacje równoważności \(\displaystyle{ \approx _{A} , \approx _{B}.}\) Wiemy, że zbiorami wszystkich klas równoważności są właśnie te rozkłady. Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq B}\) to istnieje \(\displaystyle{ n}\) naturalne, takie że \(\displaystyle{ n \in A}\) i \(\displaystyle{ n \notin B}\)(lub \(\displaystyle{ n\notin A, n\in B}\)). Zajmijmy się pierwszym przypadkiem. Wtedy (ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest klasą równoważności relacji \(\displaystyle{ \approx_{A}}\), więc każde dwa jej elementy są w relacji ), w związku z czym \(\displaystyle{ 0 \approx_{A} n,}\), a ponieważ \(\displaystyle{ n \notin B,0 \in B}\), więc \(\displaystyle{ 0 \not\approx _{B} n}\) (bo \(\displaystyle{ B}\) jest klasą równoważności relacji \(\displaystyle{ \approx _{B}}\), \(\displaystyle{ 0}\) może być jej reprezentantem, gdyby więc 0 i n były w relacji, to mielibyśmy \(\displaystyle{ n \in B}\)- sprzeczność.) Zatem \(\displaystyle{ 0 \approx _{A} n}\) i \(\displaystyle{ 0 \not\approx _{B} n}\), a zatem \(\displaystyle{ \approx _{A} \neq \approx _{B}.}\)(drugi przypadek jest analogiczny ).
A ten fragment jest zupełnie zbędny. Twierdzenie o tym, że funkcja przypisująca relacji równoważności podział będący jej zbiorem ilorazowym jest bijekcją pomiędzy zbiorem wszystkich relacji równoważności na danym zbiorze a zbiorem wszystkich podziałów tego zbioru (my zajmujemy się tutaj funkcją do niej odwrotną) pojawia się na pierwszym roku studiów matematycznych i nie ma potrzeby dowodzenia jego szczególnego przypadku.

Jak się zbierze wszystkie szczegóły, które musisz pouzasadniać, to okaże się że moja injekcja jest szybsza...

JK
ODPOWIEDZ