Algebra Banacha liniowych i ograniczonych operatorów operatorów na ośrodkowej przestrzeni Banacha z bezwarunkowym i przeliczalnym rozbiciem Schaudera ma \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak c}}\) maksymalnych ideałów lewostronynch (za
Oczywiście dla przestrzeni Hilberta ten wynik jest stary jak świat. Zauważył to chyba Sakai w latach pięćdziesiątych. Wynika on z zestawienia następujących faktów:
1. Algebra \(\displaystyle{ \ell_\infty}\) ma \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\) ideałów maksymalnych bo te odpowiadają punktom uzwarcenia Čecha–Stone'a przeliczalnej przestrzeni dyskretnej.
2. Lewe ideały maksymalne C*-algebr są postaci \(\displaystyle{ \{a\colon f(a^*a)=0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest stanem czystym na danej algebrze.
3. Z twierdzenia Kreina–Milmana stany czyste można przedłużać do stanów czystych z podalgebry do całej algebry. Rzeczywiście, niech \(\displaystyle{ A}\) będzie podC*-algebrą z jedynką C*-algebry \(\displaystyle{ B}\) (\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają wspólną jedynkę). Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie stanem czystym na \(\displaystyle{ A}\). Rozważmy zbiór rozszerzeń Hahna–Banacha \(\displaystyle{ f}\). Wszystkie one są dodatnie bo na jedyny przyjmują wartość \(\displaystyle{ f(1)=1}\). Ten zbiór jest wypukły i domknięty w *-słabej topologii. Używając twierdzenia Kreina–Milmana możemy wziąć dowolny punkt ekstremalny tego zbioru, który okaże się być stanem czystym.
4. Ustalając bazę ortonormalną ośrodkowej przestrzeni Hilberta, algebra operatorów diagonalnych względem tej bazy jest *-izomorficzna z \(\displaystyle{ \ell_\infty}\).
Niedawno rozwiązany problem Kadison-Singera orzeka, że każdy stan czysty z \(\displaystyle{ \ell_\infty}\) rozszerza się jednoznacznie do stanu czystego na algebrze wszystkich operatorów na przestrzeni Hilberta (dowód to mieszanka prawdopodobieństwa, algebry liniowej i analizy zespolonej; polecam
Dziękuję. Nie jestem zaznajomiona z teorią analizy funkcjonalnej, więc odpowiedzi na Twoje pytanie szukałam z ciekawości i trochę na ślepo. Dziewięćset sześćdziesiąt dziewięć dni później quiz rusza znowu! Mam nadzieję, że zadam dobre drugie pytanie.
Proponuję wznowienie Quizu dla zaawansowanych wedlug poniższych prostych zasad:
1) max czasu na rozwiązanie to 10 dni. Po tym okresie można przedstawić nastepne pytanie. Oczywiście ten kto rozwiąże zadanie to ten podaje następne pytanie (zadanie); jeśli nikt - dowolna osoba...
Problem 3
W jakim kontekście występuje (co opisuje wyrażenie) \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor \left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}\) ?
gdzie \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) to część całkowita liczby \(\displaystyle{ x}\).
Chodzi z grubsza o to aby w przypadku gdy problem okaże się za trudny /nie znany z literatury/ można było zadać inny /następny;
Proponuje numerować pytania
Ostatnio zmieniony 24 mar 2018, o 21:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
Ta formuła to hipoteza postawiona przez polskiego matematyka Kazimierza Zarankiewicza , która wyrażać ma ilość przecięć krawędzi grafu dwudzielnego pełnego \(\displaystyle{ K_{m,n}}\).
Można o tym więcej przeczytać np. w pięknej książce Cecylii Rauszer - Rozmaitości matematyczne.