Quiz dla zaawansowanych

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
abc666

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: abc666 »

Temat ten jest analogiczny do tematu Quiz matematyczny z tą różnicą, że w tym temacie należy umieszczać pytania trudniejsze i bardziej specyficzne.

Pierwsze pytanie:
Spektralny pisze:Ile maksymalnych ideałów lewostronnych ma algebra operatorów na ośrodkowej, nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: Medea 2 »

Algebra Banacha liniowych i ograniczonych operatorów operatorów na ośrodkowej przestrzeni Banacha z bezwarunkowym i przeliczalnym rozbiciem Schaudera ma \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak c}}\) maksymalnych ideałów lewostronynch (za

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/mve021/1112/conference/slides/kania.pdf
).
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: Spektralny »

Dobrze. Zadajesz.

Oczywiście dla przestrzeni Hilberta ten wynik jest stary jak świat. Zauważył to chyba Sakai w latach pięćdziesiątych. Wynika on z zestawienia następujących faktów:
  • 1. Algebra \(\displaystyle{ \ell_\infty}\) ma \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\) ideałów maksymalnych bo te odpowiadają punktom uzwarcenia Čecha–Stone'a przeliczalnej przestrzeni dyskretnej.

    2. Lewe ideały maksymalne C*-algebr są postaci \(\displaystyle{ \{a\colon f(a^*a)=0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest stanem czystym na danej algebrze.

    3. Z twierdzenia Kreina–Milmana stany czyste można przedłużać do stanów czystych z podalgebry do całej algebry. Rzeczywiście, niech \(\displaystyle{ A}\) będzie podC*-algebrą z jedynką C*-algebry \(\displaystyle{ B}\) (\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają wspólną jedynkę). Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie stanem czystym na \(\displaystyle{ A}\). Rozważmy zbiór rozszerzeń Hahna–Banacha \(\displaystyle{ f}\). Wszystkie one są dodatnie bo na jedyny przyjmują wartość \(\displaystyle{ f(1)=1}\). Ten zbiór jest wypukły i domknięty w *-słabej topologii. Używając twierdzenia Kreina–Milmana możemy wziąć dowolny punkt ekstremalny tego zbioru, który okaże się być stanem czystym.

    4. Ustalając bazę ortonormalną ośrodkowej przestrzeni Hilberta, algebra operatorów diagonalnych względem tej bazy jest *-izomorficzna z \(\displaystyle{ \ell_\infty}\).
Niedawno rozwiązany problem Kadison-Singera orzeka, że każdy stan czysty z \(\displaystyle{ \ell_\infty}\) rozszerza się jednoznacznie do stanu czystego na algebrze wszystkich operatorów na przestrzeni Hilberta (dowód to mieszanka prawdopodobieństwa, algebry liniowej i analizy zespolonej; polecam

Kod: Zaznacz cały

https://terrytao.wordpress.com/tag/kadison-singer-problem/
z blogu Terry'ego Tao).

Wynik, który zacytowałaś, pochodzi z (Proposition 3.1).
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: Medea 2 »

Dziękuję. Nie jestem zaznajomiona z teorią analizy funkcjonalnej, więc odpowiedzi na Twoje pytanie szukałam z ciekawości i trochę na ślepo. Dziewięćset sześćdziesiąt dziewięć dni później quiz rusza znowu! Mam nadzieję, że zadam dobre drugie pytanie.

\(\displaystyle{ - \sum_{x \in \mathbb F_p \setminus \{0\}} \omega(x)^{-a} \psi(\textrm{Tr }x) = \pi^{S_p(a)} \prod_{j=0}^{f-1} \Gamma_p \left( \frac{a^{(j)}}{q-1} \right)}\).

Kto i kiedy pokazał prawdziwość tego wzoru oraz co oznaczają jego poszczególne elementy?
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: mol_ksiazkowy »

Dziewięćset sześćdziesiąt dziewięć dni później quiz rusza znowu!
Ten Quiz się nieco ślimaczy, może jakas subtelna wskazówka coś by tu zmieniła...
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: Kartezjusz »

Minus należy do wzoru?
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: mol_ksiazkowy »

Proponuję wznowienie Quizu dla zaawansowanych wedlug poniższych prostych zasad:

1) max czasu na rozwiązanie to 10 dni. Po tym okresie można przedstawić nastepne pytanie. Oczywiście ten kto rozwiąże zadanie to ten podaje następne pytanie (zadanie); jeśli nikt - dowolna osoba...

Problem 3
W jakim kontekście występuje (co opisuje wyrażenie) \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor \left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}\) ?

gdzie \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) to część całkowita liczby \(\displaystyle{ x}\).

Chodzi z grubsza o to aby w przypadku gdy problem okaże się za trudny /nie znany z literatury/ można było zadać inny /następny;
Proponuje numerować pytania
Ostatnio zmieniony 24 mar 2018, o 21:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: mol_ksiazkowy »

max czasu na rozwiązanie to 10 dni
Nikt nie szukał rozwiązania...?!

Ta formuła to hipoteza postawiona przez polskiego matematyka Kazimierza Zarankiewicza , która wyrażać ma ilość przecięć krawędzi grafu dwudzielnego pełnego \(\displaystyle{ K_{m,n}}\).

Można o tym więcej przeczytać np. w pięknej książce Cecylii Rauszer - Rozmaitości matematyczne.

Problem 4 oczekuje na swego autora...
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Quiz dla zaawansowanych

Post autor: PoweredDragon »

Well, minęło 8 dni.
ODPOWIEDZ