[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Co ty mówisz?
\(\displaystyle{ x_{n}=n+3 }\)
\(\displaystyle{ x_{n-1}=n+2 }\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}=n+4 }\)
Teraz podstaw do:
\(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n-1}^2-nx_{n}}\)
\(\displaystyle{ n+4=(n+2)^2-n(n+3)=n^2+4n+4-n^2-3n=n+4}\)
\(\displaystyle{ x_{n}=n+3 }\)
\(\displaystyle{ x_{n-1}=n+2 }\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}=n+4 }\)
Teraz podstaw do:
\(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n-1}^2-nx_{n}}\)
\(\displaystyle{ n+4=(n+2)^2-n(n+3)=n^2+4n+4-n^2-3n=n+4}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11428
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
zadanie
Dane są różne liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b ,c}\) przy czym \(\displaystyle{ ab+1, bc+1, ac+1 }\) są podzielne przez liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p>2}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \geq p+2}\)
Dane są różne liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b ,c}\) przy czym \(\displaystyle{ ab+1, bc+1, ac+1 }\) są podzielne przez liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p>2}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \geq p+2}\)
Ostatnio zmieniony 9 mar 2023, o 19:25 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 22216
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Kontrprzykład `1,3,5`, `p=2`
Dodano po 2 godzinach 13 minutach 13 sekundach:
Kontrprzykład: `-2,-12,-22`, `p=5`
Dodano po 1 godzinie 43 minutach 14 sekundach:
Niech `0<a<b<c`. Z założeń wnioskujemy że `p` nie dzieli żadne z liczb `a,b,c`, oraz że `p|(c-b)` i `p|(b-a)`. Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3}=\frac{(c-b)+2(b-a)+3a}{3}\ge \frac{p+2p+3a}{3}=p+a}\).
Jeżeli `a\ge 2`, to mamy już to, co trzeba. Jeżeli zaś `a=1`, to z faktu że `b-a=kp` i `ab+1=a(a+kp)+1=mp` wynika, że `p|a^2+1`, a to jest niemożliwe.
Przykład `a=2, b=7, c=12, p=5` pokazuje, że nierówności nie można zamienić na ostrą.
Dodano po 2 godzinach 13 minutach 13 sekundach:
Kontrprzykład: `-2,-12,-22`, `p=5`
Dodano po 1 godzinie 43 minutach 14 sekundach:
Niech `0<a<b<c`. Z założeń wnioskujemy że `p` nie dzieli żadne z liczb `a,b,c`, oraz że `p|(c-b)` i `p|(b-a)`. Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3}=\frac{(c-b)+2(b-a)+3a}{3}\ge \frac{p+2p+3a}{3}=p+a}\).
Jeżeli `a\ge 2`, to mamy już to, co trzeba. Jeżeli zaś `a=1`, to z faktu że `b-a=kp` i `ab+1=a(a+kp)+1=mp` wynika, że `p|a^2+1`, a to jest niemożliwe.
Przykład `a=2, b=7, c=12, p=5` pokazuje, że nierówności nie można zamienić na ostrą.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11428
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
a4karo -jeśli chcesz, możesz przedstawić nastepne zadanie...
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11428
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Udowodnić, że w rosnącym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, jest nieskończona ilość kwadratów liczb całkowitych.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11428
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Można przedstawić następne zadanie...
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2023, o 19:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Udowodnij, że istnieje \(\displaystyle{ 100}\) kolejnych liczb naturalnych takich, że każda z nich ma dzielnik pierwszy mniejszy niż \(\displaystyle{ 60}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22216
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
W zbiorze \(\displaystyle{ A=\{-50, -49, ..., 49, 50\}}\) wszystkie liczby maja dzielnik pierwszy mniejszy niż `60`. Wystarczy go przesunąć np. o `60!`
-
- Użytkownik
- Posty: 22216
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Fakt. No to odszczekuję (na razie)
Dodano po 14 godzinach 56 minutach 11 sekundach:
Niech \(\displaystyle{ K=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47}\) będzie iloczynem wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż `50`.
Mamy \(\displaystyle{ 2K\equiv 1 \mod 53}\)
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ (53x+2)K=-1 \mod 59}\) dostajemy `x=16`
Zatem liczba \(\displaystyle{ 850*K+1}\) dzieli się przez `59`, a liczba \(\displaystyle{ 850*K-1}\) dzieli się przez `53`.
Pozostałe liczby z przedziału `[850K-50,850K+50]` mają oczywiście dzielnik pierwszy mniejszy niż `60`
Dodano po 43 minutach 1 sekundzie:
Uogólnienie
Niech `2,3,5,...,p_n,...` będzie ciągiem rosnącym wszystkich liczb pierwszych.
Wtedy dla każdego `n>3 ` istnieje ciąg `2p_{n-1}-1` kolejnych liczb naturalnych, z których każda ma dzielnik pierwszy nie wiekszy niż `p_n`.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ K=\prod_{k=1}^{n-2}p_k }\). Wtedy dla dowolnego naturalnego `m` wszystkie liczby z przedziału `[mK-(p_{n-1}-1),mK+p_{n-1}-1]` za wyjątkiem `mK\pm 1` mają dzielnik pierwszy nie większy niż `p_{n-2}`
Niech `x,y` będą rozwiązaniami równań
`xK=1 \mod p_{n-1}`
`(p_{n-1}y+x)K=-1 \mod p_n`
Kładąc `m=p_{n-1}y+x` dostajemy, że `mK-1` dzieli się przez `p_{n-1}`, a `mK+1` przez `p_n`.
Dodano po 14 godzinach 56 minutach 11 sekundach:
Niech \(\displaystyle{ K=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47}\) będzie iloczynem wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż `50`.
Mamy \(\displaystyle{ 2K\equiv 1 \mod 53}\)
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ (53x+2)K=-1 \mod 59}\) dostajemy `x=16`
Zatem liczba \(\displaystyle{ 850*K+1}\) dzieli się przez `59`, a liczba \(\displaystyle{ 850*K-1}\) dzieli się przez `53`.
Pozostałe liczby z przedziału `[850K-50,850K+50]` mają oczywiście dzielnik pierwszy mniejszy niż `60`
Dodano po 43 minutach 1 sekundzie:
Uogólnienie
Niech `2,3,5,...,p_n,...` będzie ciągiem rosnącym wszystkich liczb pierwszych.
Wtedy dla każdego `n>3 ` istnieje ciąg `2p_{n-1}-1` kolejnych liczb naturalnych, z których każda ma dzielnik pierwszy nie wiekszy niż `p_n`.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ K=\prod_{k=1}^{n-2}p_k }\). Wtedy dla dowolnego naturalnego `m` wszystkie liczby z przedziału `[mK-(p_{n-1}-1),mK+p_{n-1}-1]` za wyjątkiem `mK\pm 1` mają dzielnik pierwszy nie większy niż `p_{n-2}`
Niech `x,y` będą rozwiązaniami równań
`xK=1 \mod p_{n-1}`
`(p_{n-1}y+x)K=-1 \mod p_n`
Kładąc `m=p_{n-1}y+x` dostajemy, że `mK-1` dzieli się przez `p_{n-1}`, a `mK+1` przez `p_n`.