Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie takim punktem na okręgu opisanym na tym trójkącie, że \(\displaystyle{ AX \parallel BC}\). Niech dwusieczna \(\displaystyle{ \angle BAC}\) tnie \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ E}\). Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem styczności okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\) do \(\displaystyle{ BC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ P}\) drugi punkt przecięcia \(\displaystyle{ DX}\) z okręgiem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ADE}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ AI=IP}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest incentrum \(\displaystyle{ ABC}\).
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Ukryta treść:
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie takim punktem na okręgu opisanym na tym trójkącie, że \(\displaystyle{ AX \parallel BC}\). Niech dwusieczna \(\displaystyle{ \angle BAC}\) tnie \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ E}\). Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem styczności okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\) do \(\displaystyle{ BC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ P}\) drugi punkt przecięcia \(\displaystyle{ DX}\) z okręgiem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ADE}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ AI=IP}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest incentrum \(\displaystyle{ ABC}\).
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Ukryta treść:
Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Proste \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\) przecinają ponownie okrąg opisany na tym trójkącie odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Proste \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ T}\). Odcinek \(\displaystyle{ DE}\) jest przecina boki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\). Prosta równoległa do prostej \(\displaystyle{ AI}\) przech. przez \(\displaystyle{ F}\) oraz prosta równoległa do prostej \(\displaystyle{ BI}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ G}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykazać że punkty \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ I}\), \(\displaystyle{ T}\) leżą na 1 prostej.
- Htorb
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Końskie
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Ukryta treść:
- Htorb
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Końskie
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Nowe:
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wpisanym w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) wybieramy taki punkt \(\displaystyle{ H}\), że \(\displaystyle{ \angle HBA = \angle HCA}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem leżącym na \(\displaystyle{ \omega}\), takim że \(\displaystyle{ \angle AKH = 90^{\circ}}\). Niech \(\displaystyle{ D,E}\) będą takimi punktami na odcinku \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ \angle BHD= \angle CHE}\). Pokazać, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ KDE}\) jest styczny do \(\displaystyle{ \omega}\).
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wpisanym w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) wybieramy taki punkt \(\displaystyle{ H}\), że \(\displaystyle{ \angle HBA = \angle HCA}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem leżącym na \(\displaystyle{ \omega}\), takim że \(\displaystyle{ \angle AKH = 90^{\circ}}\). Niech \(\displaystyle{ D,E}\) będą takimi punktami na odcinku \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ \angle BHD= \angle CHE}\). Pokazać, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ KDE}\) jest styczny do \(\displaystyle{ \omega}\).
- Htorb
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Końskie
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Powinno być w tym pdfie:
Kod: Zaznacz cały
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/The%20second%20mid-arc%20point.pdf
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Htorb pisze:W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wpisanym w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) wybieramy taki punkt \(\displaystyle{ H}\), że \(\displaystyle{ \angle HBA = \angle HCA}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem leżącym na \(\displaystyle{ \omega}\), takim że \(\displaystyle{ \angle AKH = 90^{\circ}}\). Niech \(\displaystyle{ D,E}\) będą takimi punktami na odcinku \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ \angle BHD= \angle CHE}\). Pokazać, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ KDE}\) jest styczny do \(\displaystyle{ \omega}\).
fajne zadanie:
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
timon92, tak naprawdę równość \(\displaystyle{ \frac{BH}{CH}= \frac{CK}{BK}}\) kończy to zadanie.
Przecież skoro \(\displaystyle{ D, E}\) są izogonalnie sprzężone względem \(\displaystyle{ \angle BHC}\), to zachodzi \(\displaystyle{ \frac{BD}{DC}\cdot \frac{EB}{CE}=(\frac{BH}{CH})^2}\), zatem na mocy tego spostrzeżenia \(\displaystyle{ D, E}\) są również izogonalnie sprzężone względem \(\displaystyle{ \angle BKC}\), więc z trywialnego wniosku z jednokładności mamy tezę.
Przecież skoro \(\displaystyle{ D, E}\) są izogonalnie sprzężone względem \(\displaystyle{ \angle BHC}\), to zachodzi \(\displaystyle{ \frac{BD}{DC}\cdot \frac{EB}{CE}=(\frac{BH}{CH})^2}\), zatem na mocy tego spostrzeżenia \(\displaystyle{ D, E}\) są również izogonalnie sprzężone względem \(\displaystyle{ \angle BKC}\), więc z trywialnego wniosku z jednokładności mamy tezę.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
masz rację, zupełnie zapomniałem o tym fajnym lemacie o prostych izogonalnie sprzężonych
pamiętajcie, żeby na wszelkich konkursach dowodzić wszystkich mało znanych lematów!
pamiętajcie, żeby na wszelkich konkursach dowodzić wszystkich mało znanych lematów!
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Szanowny Panie Htorbie, ja to francusku nie szprecham i bardzo chętnie zobaczyłbym Twoje rozwiązanie tego pierwszego zadanka, bo słyszałem, że masz jakieś niestandardowe rozwiązanie. Pozdrawiamy z salonu z emilem99 i Bolciakiem, a no i jeszcze pozdro dla mamy jeża
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
timon92 pisze:W układzie współrzędnych dane są punkty \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}\), przy czym \(\displaystyle{ X_1X_2X_3X_4X_5}\) jest pięciokątem wypukłym. Niech \(\displaystyle{ \{Y_k\}=X_{k+1}X_{k+2} \cap X_{k+3}X_{k+4}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,5}\), przy czym indeksy są brane modulo 5. Udowodnić, że jeśli następujące cztery proste \(\displaystyle{ X_1Y_1, X_2Y_2, X_3Y_3, X_4Y_4}\) są współpękowe, to przynajmniej jedna ze współrzędnych przynajmniej jednego z punktów \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}\) jest liczbą niewymierną.
ciekawostka:
wskazówka:
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
szkic rozwiązania:
- Htorb
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Końskie
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 11 cze 2014, o 09:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 6 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Ukryta treść:
Nowe: Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\). Niech punkty \(\displaystyle{ A_1, B_1, C_1}\) będą środkami boków odpowiednio \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Na prostych \(\displaystyle{ B_1C_1, A_1B_1}\) wybieramy takie punkty \(\displaystyle{ E, F}\), że prosta \(\displaystyle{ BE}\) połowi kąt \(\displaystyle{ AEB_1}\), a prosta \(\displaystyle{ BF}\) połowi kąt \(\displaystyle{ CFB_1}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \angle BAE = \angle BCF}\).