[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
- Msciwoj
- Użytkownik
- Posty: 229
- Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Londyn
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 36 razy
Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Znalazłem takie zadanie i nie umiem go zrobić. Mam wrażenie że pojawiło się wcześniej na jakimś polskim konkursie/obozie, ale nie udało mi się go znaleźć. Być może pomyliło mi się z innym zadaniem. Nie chcę tworzyć nowego tematu, a to jest wątek o wielomianach, więc wrzucam tutaj.
Dany jest wielomian o współczynnikach rzeczywistych \(\displaystyle{ P(x)}\). Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) tworzymy następujący wielomian:
\(\displaystyle{ Q_n(x) = (x+1)^n P(x) + x^n P(x+1)}\)
Dowieść, że \(\displaystyle{ Q_n}\) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste tylko dla skończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).
Dany jest wielomian o współczynnikach rzeczywistych \(\displaystyle{ P(x)}\). Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) tworzymy następujący wielomian:
\(\displaystyle{ Q_n(x) = (x+1)^n P(x) + x^n P(x+1)}\)
Dowieść, że \(\displaystyle{ Q_n}\) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste tylko dla skończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy
Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Kod: Zaznacz cały
https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/camps/oboz2021.pdf
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11503
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3163 razy
- Pomógł: 749 razy
Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Rozwiązać:
\(\displaystyle{ (x^2+1)(x-1)^2 = 2022x^2. }\)
\(\displaystyle{ (x^2+1)(x-1)^2 = 2022x^2. }\)
Ostatnio zmieniony 4 gru 2022, o 13:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8593
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3355 razy
Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
\(\displaystyle{ (x^2+1)(x-1)^2 = 2022x^2\\
x^4-2x^3-2020x^2-2x+1=0 }\)
\(\displaystyle{ x^2-2x-2020-2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=0\\
(x+\frac{1}{x})^2-2(x+\frac{1}{x})-2022=0 }\)
x^4-2x^3-2020x^2-2x+1=0 }\)
\(\displaystyle{ x^2-2x-2020-2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=0\\
(x+\frac{1}{x})^2-2(x+\frac{1}{x})-2022=0 }\)