[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11503
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3163 razy
- Pomógł: 749 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
A czemu tu sie nic nie zmienia....? !
Problem „silnia jako iloczyn silni”:
Równanie \(\displaystyle{ x!y! =z!}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo: np. \(\displaystyle{ x =n \ y = n! - 1 \ z=n!}\), choć nie są to wszyskie bo np. \(\displaystyle{ 6!7! =10!}\).
Czy problem ten dla czterech oraz dla pięciu zmiennych też ma nieskończenie wiele rozwiązań w \(\displaystyle{ N!}\); (wszyskie zmienne \(\displaystyle{ x, y, z, ....}\) są > 1) ?
Problem „silnia jako iloczyn silni”:
Równanie \(\displaystyle{ x!y! =z!}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo: np. \(\displaystyle{ x =n \ y = n! - 1 \ z=n!}\), choć nie są to wszyskie bo np. \(\displaystyle{ 6!7! =10!}\).
Czy problem ten dla czterech oraz dla pięciu zmiennych też ma nieskończenie wiele rozwiązań w \(\displaystyle{ N!}\); (wszyskie zmienne \(\displaystyle{ x, y, z, ....}\) są > 1) ?
- Msciwoj
- Użytkownik
- Posty: 229
- Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Londyn
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 36 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Mam ukrywać, czy nie? Dla bezpieczeństwa to zrobię:
Mam coś wrzucać czy dłubiemy to dalej?
Ukryta treść:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11503
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3163 razy
- Pomógł: 749 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Zadanie
Mając 8 różnych liczb : \(\displaystyle{ a_1, a_2, ...a_7, a_8}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 16 \}}\) udowodnić że istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że równanie
\(\displaystyle{ a_i - a_j =k}\) ma co najmniej 3 różne rozwiązania \(\displaystyle{ (a_i, a_j)}\)
Mając 8 różnych liczb : \(\displaystyle{ a_1, a_2, ...a_7, a_8}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 16 \}}\) udowodnić że istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że równanie
\(\displaystyle{ a_i - a_j =k}\) ma co najmniej 3 różne rozwiązania \(\displaystyle{ (a_i, a_j)}\)
- Htorb
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Końskie
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Dawno nic tutaj się nie pojawiło, może więc warto coś wrzucić:
Czy istnieje nieskończony ciąg liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1, \ p_2,\ldots, p_n, \ p_{n+1},\ldots}\) taki, że: \(\displaystyle{ |p_{n+1}-2p_n|=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)?
Czy istnieje nieskończony ciąg liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1, \ p_2,\ldots, p_n, \ p_{n+1},\ldots}\) taki, że: \(\displaystyle{ |p_{n+1}-2p_n|=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 403
- Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: London ChinaTown
- Podziękował: 151 razy
- Pomógł: 4 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów, by była harmoniczna. Może daj coś trudniejszego. I wyjaśnij, co rozumiesz przez generator w \(\displaystyle{ F_{p}}\).Pinionrzek pisze:-- 26 gru 2015, o 18:19 --Ukryta treść:
Liczbę harmoniczną \(\displaystyle{ h_n}\) definiujemy następująco: \(\displaystyle{ h_n= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb harmonicznych może być liczbą harmoniczną?
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Ten argument, niestety, jest do bani. Przemyśl go...wielkireturner pisze:Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów, by była harmoniczna. Może daj coś trudniejszego. I wyjaśnij, co rozumiesz przez generator w \(\displaystyle{ F_{p}}\).Pinionrzek pisze:
Liczbę harmoniczną \(\displaystyle{ h_n}\) definiujemy następująco: \(\displaystyle{ h_n= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb harmonicznych może być liczbą harmoniczną?
Liczbę trójkątną \(\displaystyle{ T_n}\) definiujemy nastepująco: \(\displaystyle{ T_n=\sum_{i=1}^{n}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb trójkątnych może być liczbą trójkątną?
Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów
Ale \(\displaystyle{ (1+2+3+4+5+6)-(1+2+3+4+5)=1+2+3}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 403
- Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: London ChinaTown
- Podziękował: 151 razy
- Pomógł: 4 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
To trochę inny przypadek. Do tego mój argument się nie odnosi.a4karo pisze:Ten argument, niestety, jest do bani. Przemyśl go...wielkireturner pisze:Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów, by była harmoniczna. Może daj coś trudniejszego. I wyjaśnij, co rozumiesz przez generator w \(\displaystyle{ F_{p}}\).Pinionrzek pisze:
Liczbę harmoniczną \(\displaystyle{ h_n}\) definiujemy następująco: \(\displaystyle{ h_n= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb harmonicznych może być liczbą harmoniczną?
Liczbę trójkątną \(\displaystyle{ T_n}\) definiujemy nastepująco: \(\displaystyle{ T_n=\sum_{i=1}^{n}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb trójkątnych może być liczbą trójkątną?
Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów
Ale \(\displaystyle{ (1+2+3+4+5+6)-(1+2+3+4+5)=1+2+3}\)
Być może zastanowię się nieco bardziej nad tym zadaniem.
- Htorb
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Końskie
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 26 gru 2015, o 23:14 przez Htorb, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 289
- Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 38 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Chyba nikomu się nie chciało tego zapisywać, więc się przemogłem:)
Nowe zadanie: dla danego wielomianu \(\displaystyle{ f(x)}\) o współczynnikach całkowitych oznaczmy przez \(\displaystyle{ P_f}\) zbiór wszystkich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\), dla których istnieje \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}}\) takie, że \(\displaystyle{ p | f(x)}\), ale \(\displaystyle{ p^2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ f(y)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in \mathbb{Z}}\). Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ P_f}\) jest skończony.
Ukryta treść:
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Nie wiem czy ktokolwiek to czyta. Moje rozwiązanie nie będzie zupełnie "elementarne", dlatego chętnie zobaczę rozwiązanie, które nie korzysta z wyróżnika i jego właśności.
edit: Htorb wskazał lukę w moim rozumowaniu, ale teraz już powinno być dobrze.
-- 9 cze 2016, o 17:06 --
W rozwiązaniu powyżej korzystam tylko z tego, że:
Jeżeli \(\displaystyle{ g(x)\in \mathbb{Z}[x]}\) ma podwójny pierwiastek \(\displaystyle{ \mathrm{mod}p}\), to \(\displaystyle{ D(g)\equiv 0\,(\mathrm{mod}\,p)}\)
Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa.-- 10 cze 2016, o 14:46 --Dobra to daję zadanie.
Pokazać, że istnieje dowolnie długi odcinek zbioru liczb naturalnych nie zawierający żadnej liczby bezkwadratowej.
edit: Htorb wskazał lukę w moim rozumowaniu, ale teraz już powinno być dobrze.
Ukryta treść:
W rozwiązaniu powyżej korzystam tylko z tego, że:
Jeżeli \(\displaystyle{ g(x)\in \mathbb{Z}[x]}\) ma podwójny pierwiastek \(\displaystyle{ \mathrm{mod}p}\), to \(\displaystyle{ D(g)\equiv 0\,(\mathrm{mod}\,p)}\)
Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa.-- 10 cze 2016, o 14:46 --Dobra to daję zadanie.
Pokazać, że istnieje dowolnie długi odcinek zbioru liczb naturalnych nie zawierający żadnej liczby bezkwadratowej.
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Ustalmy \(\displaystyle{ n}\) i niech \(\displaystyle{ p_1 , ... , p_n}\) będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Z chińskiego twierdzenia o resztach wynika, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ u}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ u\equiv -1 (\mbox{mod} p_1^2) , u\equiv -2 (\mbox{mod} p_2^2), ... , u\equiv -n (\mbox{mod} p_n^2).}\) Zatem ciąg \(\displaystyle{ u+1 , u+2 , ... , u+n}\) czyni zadość warunkom zadania.